Explorando a Simetria da Parábola Para Resolver Equações Quadráticas

A resolução de equações ou expressões lineares apresentam poucas dificuldades. Para as equações  quadráticas que está presente em diversos problemas elementares e avançados, a técnica aplicada nas equações lineares é insuficiente e novas abordagens devem ser exploradas. 

Particularmente, sou contra o uso indiscriminado de alguma fórmula para resolver determinado tipo de problema matemático. A compreensão do processo ou de algum algoritmo é muito mais vantajoso. 

Sendo assim, desviaremos da técnica de completar quadrados para resolver as equações quadráticas e veremos um método baseado na simetria do gráfico da função 

[;f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{com} \quad a \neq 0 \qquad (1);] 

para achar os zeros de [;f;] ou as raízes da equação 

[;ax^2 + bx + c = 0 \qquad (2);] 

O Método: 

Para resolver uma equação quadrática (2), determinamos a abscissa do vértice  através da expressão [;x_v = -\frac{b}{2a};]. Em seguida, transformamos a equação dada na variável [;x;] em uma equação quadrática incompleta na variável [;u;]. Achamos suas raízes isolando [;u;] e em seguida, achamos a raízes da equação original. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Ache as raízes reais (caso existirem) das seguintes equações quadráticas:

a) 

b) [;2x^2 - x - 1 = 0;]

c) [;x^2 + x + 1 = 0;]

Resolução: 

a)

Note que [;x_v = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2};]. Seja [;x = \frac{5}{2} + u;]. Substituindo na equação dada, temos:

[;\biggl(\frac{5}{2} + u\biggr)^2 - 5\biggl(\frac{5}{2} + u\biggr) + 6 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;\frac{25}{4} + 5u + u^2 - \frac{25}{2} - 5u + 6 = 0 \quad \Rightarrow;] 

[;u^2 = \frac{1}{4} \quad u = \pm \frac{1}{2};]

Logo, [;x_1 = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2;] e [;x_2 = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3;] são as raízes procuradas. 

b) [;2x^2 - x - 1 = 0;]

Nesse caso, [;x_v = \frac{1}{4};]. Fazendo [;x = \frac{1}{4} + u;] e substituindo na equação dada, obtemos [;u^2 = \frac{9}{16};], ou seja, [;u = \pm \frac{3}{4};]. Logo, [;x_1 = -\frac{1}{2};] e [;x_2 = 1;].

c) [;x^2 + x + 1 = 0;]

Nesse caso, [;x_v = -\frac{1}{2};]. Sejam [;x_1 = -\frac{1}{2} + u;]. Assim,

[;\biggl(-\frac{1}{2} + u\biggr)^2 + \biggl(-\frac{1}{2} + u\biggr) + 1 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;u^2 + \frac{3}{4} = 0;]

Como esta equação não admite raízes reais, a equação original também não admite. 

Justificativa do Método:

Geometricamente, as raízes reais [;x_1;] e [;x_2;] da equação [;(2);] são  os pontos resultantes da interseção da parábola com o eixo [;x;]. Deste modo, uma forma simples de achá-los é traçar o gráfico de [;f;] e observar os pontos de interseção da parábola com o eixo [;x;]. Por exemplo, o gráfico de [;f(x) = x^2 - 2x - 3;] é dado por:

Portanto, as raízes são [;x_1 = -1;] e [;x_2 = 3;]. Além disso, é claro que se o gráfico de [;f;] não interceptar o eixo [;x;], não teremos raízes reais. 

A pergunta natural que surge em relação ao gráfico de uma função quadrática e as raízes [;x_1;] e [;x_2;] é a seguinte:

"Tem como explorar as propriedades gráficas da parábola para resolver equações quadráticas?"

A resposta é sim. Observando novamente o gráfico anterior, notamos que para  cada ponto da parábola [;f(x) = x^2 - 2x - 3;], existe um outro ponto simétrico em relação a reta [;x = 1;]. Desta forma, podemos dizer que esta reta especial, chamada eixo de simetria funciona como um espelho, refletindo a curva à direita na curva à esquerda e vice-versa. Matematicamente, se [;P_1(x_1,y_1);] e [;P_2(x_2,y_2);] são dois pontos da parábola com [;y_1 = y_2;] fica para o leitor mostrar que [;x_1 = -x_2;]. 

Definição 1: O ponto especial sobre a parábola que é simétrico de si mesmo é chamado vértice e representaremos por [;V(x_v,y_v);]. 

Como estamos interessados em desenvolver um método para calcular raízes de equações quadráticas, precisaremos conhecer o valor de [;x_v;] em função dos coeficientes da função quadrática (1).

Proposição 1: A abscissa do vértice [;V;] da parábola é [;x_v = -\frac{b}{2a};].

Demonstração: Em particular, as raízes da equação quadrática são simétricas em relação à reta [;x = x_v;]. Assim, denotaremos as raízes [;x_1;] e [;x_2;] da equação [;ax^2 + bx + c = 0;] por 

sendo [;u \neq 0;] uma variável de transformação. Note que [;0 = f(x_1) = f(x_v - u) \quad \Rightarrow;]

 [;0 = a(x_v - u)^2 + b(x_v - u) + c \qquad (3);]

e

[;0 = f(x_2) = f(x_v + u) \quad \Rightarrow;]

[;0 = a(x_v + u)^2 + b(x_v + u) + c \qquad (4);] 

Fazendo (3) - (4), temos:

[;0 = a[(x_v + u)^2 - (x_v - u)^2 + 2bu \quad \Rightarrow;] 

[;\quad 4x_vua = -2bu \quad \Rightarrow \quad x_v = -\frac{b}{2a};]

Proposição 2: A equação quadrática [;ax^2 + bx + c = 0;] pode ser escrita na variável [;u;] na forma [;k_1u^2 + k_2 = 0;] através da translação [;x = x_v + u;], sendo [;k_1, k_2;] constantes reais. 

Demonstração: Substituindo [;x = x_v + u;] na equação quadrática, temos:

[;a(x_v + u)^2 + b(x_v + u) + c = 0 \quad \Rightarrow;]

[;ax_{v}^{2} + 2ax_vu + au^2 + bx_v + bu + c = 0 \quad \Rightarrow;]

Usando a Prop. 1, segue o resultado. 

Portanto, dada a equação quadrática [;ax^2 + bx + c = 0;], o primeiro passo do método é achar através da Prop. 1 a abscissa [;x_v;] do vértice. Em seguida, usamos a Prop. 2 para transformar a equação quadrática dada na variável [;x;] para a variável [;u;]. Esta nova equação não possui o termo linear e as raízes reais ou complexas podem ser determinadas isolando [;u;]. Logo, [;x = x_v \pm u;].

Gostará de ler também:

- A Parábola e as Funções Quadráticas;

- Fatoração do Trinômio Quadrático em Z.

Introdução ao Cálculo de Várias Variáveis

Muitos fenômenos na Natureza dependem de mais de uma variável e seu estudo é feito principalmente através das Equações Diferenciais Parciais (EDP's). Um  dos requisitos básicos para estudar as EDP's é o Cálculo Diferencial e Integral de duas ou mais variáveis. Neste post, apresentaremos de forma sucinta este "novo" tipo de Cálculo.

Um ponto no [;\mathbb{R}^2;] é denotado por um par ordenado de números reais [;(x,y);]. Um ponto no [;\mathbb{R}^3;] é denotado por uma terna ordenada. Da mesma forma, um ponto no espaço n-dimensional, [;\mathbb{R}^n;], é representado por uma ênupla de números reais, sendo comumente denotado por [;P(x_1,x_2,\ldots,x_n);]. 

Definição 1: Uma função de [;n;] variáveis é um conjunto de pares ordenados [;(P,w);], onde dois pares distintos não podem ter os primeiros elementos iguais, sendo [;P \in \mathbb{R}^n;] e [;w \in \mathbb{R};]. O conjunto de todos os valores possíveis de [;P;] é chamado de domínio da função, enquanto que o conjunto de todos possíveis valores de [;w;] é chamado de imagem da função. 

Esquematicamente, temos:

Exemplo 1: Seja [;f;] a função de [;x;] e [;y;] dada pelos pares ordenados [;(P,z);] tal que [;z = f(x,y) = \sqrt{16 - x^2 - y^2};]. Determine o domínio de [;f;].

Resolução: Devemos ter 

[;16 - x^2 - y^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 \leq 16;]

ou seja, o domínio desta função é formado pelos pontos no interior de um disco centrado na origem e raio igual a [;4;].

(Imagem produzida no Wolfram Alpha)

Um tipo de função simples de duas variáveis é dada por

[;z = f(x,y) = ax + by + c \qquad (1);]

sendo [;a,b;] e [;c \in \mathbb{R};]. O conjunto dos pontos [;(x,y,z);]   com [;z;] dado pela expressão [;(1);] formam um plano no espaço tridimensional. É importante ressaltar que nem todo plano no espaço é uma função de duas variáveis, mas toda função de duas variáveis dadas por [;(1);] representa um plano. 

Exemplo 2: Determine o domínio e o gráfico da função [;f(x,y) = 2 - x - y;].

Resolução: Observe que não há nenhuma restrição para as variáveis [;x;] e [;y;]. Portanto, [;D(f) = \mathbb{R};]. Sabemos que o gráfico desta função é um plano e para desenhá-lo, vejamos as interseções deste plano com os planos coordenados. 

No plano [;xy;], temos [;z = f(x,y) = 0;], ou seja, [;2 - x - y = 0;] ou [;y = 2 - x;]. Esta reta está representada na figura abaixo:

No plano [;xz;], temos [;y = 0;], de modo que [;z = 2 - x;] e o gráfico desta reta está representado na figura abaixo:

No plano [;yz;], temos [;x = 0;], ou seja, [;z = 2 - y;]. Esta reta está representada na figura abaixo:

Com estas interseções o plano fica facilmente determinado desenhando estas retas diretamente no sistema de coordenadas cartesianas do espaço, ou seja:

Através do Wolfram Alpha, podemos obter o gráfico desta função, conforme o comando abaixo. 

Uma outra técnica para gerar gráficos de funções de duas variáveis é através do uso das curvas de nível. 

Definição 2: Suponhamos que a superfície [;z = f(x,y);] seja interceptada por um plano [;z = k;] (plano paralelo ao plano [;xy;]) e que a curva de interseção seja projetada no plano [;xy;]. Esta curva que tem por equação [;f(x,y) = k;] é chamada curva de nível da função [;f;] em [;k;].

Dada uma função de duas variáveis [;z = f(x,y);], suas curvas de nível pode-nos auxiliar na construção de seu gráfico. Veja na figura abaixo as curvas de nível da função [;f(x,y) = 2 - x - y;].

Nas figuras abaixo, apresentamos as curvas de nível e o gráfico das funções de duas variáveis. 

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 25)

[;77);] Um vaso na forma de um segmento esférico de altura [;h;], diâmetro da base superior igual a [;2b;] e diâmetro da base inferior [;2a;] será confeccionado a partir de uma casca esférica de raio [;R;] conforme a figura abaixo. Mostre que 

[;R^2 = a^2 + \biggl(\frac{a^2 - b^2 - h^2}{2h} \biggr)^2;]

[;78);] Se [;0 < a < b;], mostre que

[;79);] Mostre que 

[;\sum_{n=1}^{\infty}\arctan\bigg(\frac{1}{n^2 + n + 1}\biggr) = \frac{\pi}{4};]

[;80);] Ache todas as soluções reais do sistema de equações

[;\begin{cases}\frac{4x^2}{1 + 4x^2} = y\\ \frac{4y^2}{1 + 4y^2} = z\\ \frac{4z^2}{1 + 4z^2} = x\\ \end{cases};]

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 24).

[;73);] Sejam [;r;] e [;s;] duas retas perpendiculares entre si que se cruzam no centro [;O;] de uma circunferência de raio [;1;]. Considere [;A;] um ponto da reta [;r;], externo à circunferência, e [;M;] do segmento [;AO;]. Escolhe-se um ponto [;N;] da circunferência tal que [;MO = MN;]. A reta que passa por [;A;] e [;N;] corta [;s;] em [;B;]. Mostre que [;AN\cdot BN = 1;].

Fonte: Olímpiada Regional de Matemática 2002. Rio Grande de Sul.7

Resolução: Considere a figura abaixo:

Note que [;\triangle NOA \sim \triangle AOB;], de modo que 

[;\frac{AB}{OA} = \frac{OA}{AN} \quad \Rightarrow \quad (AN + NB)AN = OA^2 \quad \Rightarrow;]

 [;AN\cdot BN = OA^2 - AN^2 = ON^2 = 1;]

[;74);] Qual é a área maior?

Resolução: Pela fórmula de Heron, temos:
Para a primeira figura, temos:
O semi-perímetro [;p = \frac{30 + 25 + 25}{2} = 40;], de modo que

[;A_1 = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};]

 [;= \sqrt{40(40 - 25)(40 - 25)(40 - 30)} = 300 \ u^2;]

Agora para a segunda figura,

de modo que

[;A_2 = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};]

[;= \sqrt{45(45 - 25)(45 - 25)(45 - 40)} = 300 \ u^2;]

Logo, as áreas são iguais. 

Solução enviada pelo leitor Warles Ribeiro.

[;75);] (RPM número 7) Prove que o número 

é racional. 

Resolução: Seja

Elevando ao cubo ambos os lados, segue que

[;x^3 = \bigl(\sqrt[3]{7 + \sqrt{50}} + \sqrt[3]{7 - \sqrt{50}}\bigr)^3 \quad \Rightarrow;]

[;x^3 = -3x + 14;]

Por inspeção, verifica-se que [;x = 2;] é uma raiz desta equação cúbica, donde segue que 

[;\sqrt[3]{7 + \sqrt{50}} + \sqrt[3]{7 - \sqrt{50}} = 2;]

[;76);]  Provar que se a equação 

[;x^2 + (a + bi)x +  ci = 0;]

onde [;a,b;] e [;c \in \mathbb{R};] admite uma raiz real, então [;ab = c;].

Resolução: Faça a multiplicação eliminando os parênteses, isto é, 

[;x^2 + ax + bix  + ci = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + ax + (bx + c)i = 0 + 0i;]

A parte imaginária é nula, de modo que 

[;bx + c = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{c}{b};]

Substituindo [;x;] na parte real, temos

[;\biggl(-\frac{c}{b}\biggr)^2 + a\cdot \biggl(-\frac{c}{b}\biggr) = 0\quad \Rightarrow \quad c = ab;]

Resolução adaptada da solução enviada pelo leitor Warles Ribeiro que também enviou a solução do problema 75.

Participe enviando as soluções dos problemas 77), 78), 79) e 80) no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com. O prazo para entrega para enviar as soluções destes problemas encerra no dia 08/06/2013. 

Niccolo Fontana (Tartaglia)

Niccolo Fontana também conhecido por Tartaglia foi um matemático italiano do século XVI. Nasceu em Bréscia em 1499 ou 1500 e faleceu em  1557 na cidade de Veneza. Seu nome está relacionado com um método para resolução de equações cúbicas ou do terceiro grau. 

De família muito humilde, Tartaglia era filho do carteiro Michele Fontana que era conhecido por "Micheletto Rider". Embora fosse pobre, Micheletto fez o seu melhor para sua esposa, filha e dois filhos. Niccolo frequentou a escola a partir da idade de cerca de quatro anos. A vida deste matemático poderia ter sido muito diferente se não fosse a tragédia que abateu sobre sua família. Aos seis anos, seu pai Micheletto foi assassinado fazendo entregas. De ser uma criança em uma família pobre, de repente ele foi mergulhado na pobreza total.

Niccolo quase foi morto quando adolescente em 1512, quando os franceses capturaram sua cidade natal e colocá-lo diante de uma espada. O exército francês comandado por Gaston de Foix sofreu algumas humilhações de milícias da Bréscia. Desta forma, eles decidiram ensinar aos habitantes locais uma lição e retomou Bréscia durante sete dias de combates onde 46.000 moradores foram mortos em um ato de vingança. Em meio a carnificina geral, Niccolo com 12 anos de idade refugiou-se na catedral, com sua mãe e sua irmã mais nova, mas foi vítima de terríveis ferimentos faciais executado por um soldado francês que cortou o queixo e paladar. Ele foi deixado para morrer e mesmo quando sua mãe descobriu que ele ainda estava vivo, ela não podia dar o luxo de pagar qualquer tipo de ajuda médica. No entanto, os ternos cuidados de sua mãe garantiu que o rapaz sobrevivesse, mas em sua vida adulta ele sempre usava uma barba para camuflar suas cicatrizes desfigurantes e ele só conseguia falar com muita dificuldade, daí seu apelido Tartaglia ou gago.

Tartaglia foi autodidata em matemática, mas, com uma capacidade extraordinária. Ludovico Balbisonio, levou para Pádua para estudar lá, mas quando ele voltou com seu patrono Ludovico, ele tornou-se impopular por ter uma opinião exagerada de si mesmo. Ele deixou Bréscia para ganhar a vida ensinando matemática em Verona entre 1516 e 1518. Mais tarde, ainda em Verona, lecionou em uma escola no Palazzio Mizzanti mas está registrado que naquela época ele era casado e ainda era muito pobre. Mudou-se para Veneza, em 1534 e como um humilde professor de matemática, Tartaglia gradualmente adquiriu uma boa reputação, participando com sucesso em um grande número de debates. 

A primeira pessoa conhecida a ter resolvido equações cúbica algebricamente era del Ferro, mas ele não disse a ninguém de sua realização. Em seu leito de morte, no entanto, del Ferro passou o segredo a seu aluno Fior. Para os matemáticos da época havia mais de um tipo de equação cúbica e del Ferro mostrou apenas um tipo para Fior que o seguinte: "incógnitas e cubos iguais a um número". Em notação moderna, escrevemos [;x^3 + ax = b;], sendo [;a;] e [;b;] números positivos. Como os números negativos ainda não eram empregados nas equações, temos diversos outros casos, incluindo as equações sem o termo quadrado. 

Fior começou a se gabar de que ele foi capaz de resolver cúbicas em um desafio entre ele e Tartaglia em 1535. Na verdade, Tartaglia também descobriu como resolver um tipo de equação cúbica desde seu amigo Zuanne da Coi havia estabelecido dois problemas que levaram Tartaglia para uma solução geral do tipo diferente do que Fior poderia resolver, ou seja, "cubos e quadrados iguais a um número" ou [;x^3 + ax^2 = b;]. Para a disputa entre Tartaglia e Fior, cada homem era para apresentar trinta perguntas para o outro para resolver. Fior era extremamente confiante de que sua capacidade de resolver equações cúbicas seria o suficiente para derrotar o seu oponente. Tartaglia apresentou uma variedade de diferentes questões, expondo Fior como, na melhor das hipóteses, matemático medíocre. Fior, por outro lado, ofereceu para Tartaglia 30 questões envolvendo "incógnitas e cubos" problemas os quais ele acreditava que Tartaglia seria incapaz de resolvê-los. No entanto, nas primeiras horas de 13 de fevereiro de 1535, a inspiração veio de Tartaglia e descobriu o método para resolver "quadrados e cubos iguais a um número". Tartaglia foi então capaz de resolver todos os problemas da lista de Fior em menor de duas horas. Como Fior tinha feito pouco progresso com as perguntas de Tartaglia, era óbvio para todos de quem foi o vencedor. 

Neste ponto, Girolamo Cardano (1501-1576) entra na história. Como conferencista público de matemática na Fundação Piatti, em Milão, ele estava ciente do problema da resolução de equações cúbicas, mas, até a competição, ele acreditava juntamente como Pacioli havia afirmado no livro Suma publicado em 1494 que era impossível achar as raízes das equações cúbicas. Cardano ficou muito intrigado quando Zuanne da Coi lhe contou sobre o concurso e ele imediatamente começou a trabalhar tentando descobrir o método de Tartaglia para si, mas não teve sucesso. Alguns anos mais tarde, em 1539, ele contatou Tartaglia, através de um intermediário, solicitando que o método poderia ser incluído em um livro que ele estava publicando naquele ano. Tartaglia recusou esta oportunidade, afirmando a sua intenção de publicar a sua fórmula em um livro de sua autoria que ele ia escrever em uma data posterior. Cardano concordou com Tartaglia, mas pediu para ser mostrado o método, prometendo mantê-lo em segredo. Tartaglia recusou este pedido.

Cardano indignado escreveu diretamente a Tartaglia, expressando sua amargura, desafiando-o para um debate, mas, ao mesmo tempo, insinuando que ele havia comentando com o governador de Milão, Alfonso d'Avalos sobre o seu brilhantismo. Após a recepção desta carta, Tartaglia radicalmente revisou sua atitude, percebendo que o influente governador milanês poderia ser muito gratificante e seria uma forma de sair do modesto trabalho de professor de matemática. Ele escreveu de volta para Cardano, em termos amigáveis. Cardano ficou encantado com a nova abordagem de Tartaglia e convidou-o para a sua casa e garantiu que iria marcar uma reunião com o governador Alfonso d'Avalos.

  Girolamo Cardano

Então, em março de 1539, Tartaglia deixou Veneza e viajou para Milão. Para desânimo de Tartaglia, o governador estava temporariamente ausente de Milão, mas Cardano recepcionou seu hóspede e em pouco tempo de conversa, o assunto se voltou para o problema das equações cúbicas. Tartaglia, depois de muita insistência, concordou em contar para Cardano o seu método, desde que Cardano jurasse nunca revelá-lo a ninguém e, além disso, sempre anotá-lo em código para que em sua morte, ninguém iria descobrir o segredo de seus papéis. Cardano prontamente aceitou os termos do acordo e Tartaglia divulgou sua fórmula na forma de um poema, para ajudar a proteger o segredo, caso o papel caísse em mãos erradas. 

Ansioso agora para deixar a casa de Cardano, obteve de seu anfitrião uma carta de apresentação para o Marchese e saiu para procurá-lo. Em vez disso, ele voltou para Veneza, perguntando-se se a sua decisão de compartilhar sua fórmula tinha sido um erro. Pouco antes antes de chegar a Veneza, Tartaglia tinha certeza que ele havia cometido um erro ao confiar em Cardano e começou sentir muita raiva pelo fato que ele tinha sido induzido a revelar a sua fórmula secreta.

Cardano publicou dois livros de matemática no final daquele ano e, assim que Tartaglia adquiriu uma cópia, ele verificou se a sua fórmula não foi incluída. Embora ele se sentia um pouco mais feliz ao descobrir que a sua fórmula não foi incluída nos textos, quando Cardano escreveu para ele de forma amigável, Tartaglia recusou sua oferta de amizade e continuou sem piedade ridicularizar seus livros. 

Com base na fórmula de Tartaglia, Cardano e Ferrari, seu assistente realizou um grande progresso descobrindo todos os casos da equação cúbica e também desenvolveram um método para resolver a equação quártica. Tartaglia não fez nenhum esforço para publicar sua fórmula, apesar do fato de que, agora tornou-se bem conhecido que um tal método existiu. Tartaglia provavelmente desejava manter sua fórmula em segredo para obter vantagens nos próximos debates. 

Cardano e Ferrari viajou para Bolonha em 1543 e aprendeu com della Nave que tinha sido del Ferro, não Tartaglia, o primeiro a resolver a equação cúbica. Cardano sentiu que embora tenha jurado não revelar o método de Tartaglia certamente nada impedia de publicar a fórmula de del Ferro. Em 1545, Cardano publica a Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus ou Ars magna, como é mais conhecido, que continha soluções para as equações cúbicas e quárticas e todo trabalho adicional que tinha concluído da fórmula de Tartaglia. Del Ferro e Tartaglia são creditados com suas descobertas, assim como Ferrari pela descoberta do método para resolver as equações quárticas. 

Tartaglia ficou furioso quando descobriu que Cardano violou seu juramento e sua antipatia de Cardano transformou em um ódio patológico. No ano seguinte, Tartaglia publicou um livro, novos problemas e invenções que declarou claramente o seu lado da história e sua crença de que Cardano agiu de extrema má-fé. Para completar, ele acrescentou alguns insultos pessoais maliciosos contra Cardano. Em contra partida, a Ars magna estabeleceu Cardano como líder matemático do mundo, ele não foi muito danificado pelos ataques venenosos de Tartaglia. No entanto, Ferrari escreveu a Tartaglia, repreendendo-o sem piedade e desafiou-o para um debate público. Tartaglia foi extremamente relutante em disputar com Ferrari por considerá-lo um matemático desconhecido cuja vitória não traria muitos benefícios. Por outro lado, Tartaglia insistia em um debate com Cardano que era conhecido no entre os matemáticos, literários e médicos. Todo seu brilhantismo em descobrir um método para resolver a equação cúbica não ajudou Tartaglia em sua vida profissional, que continuou a ser um professor de matemática relativamente pobre em Veneza. 

Em 1548, Tartaglia recebe uma oferta impressionante de um leitorado em sua cidade natal, Bréscia. Para estabelecer claramente as sua credenciais para o cargo, Tartaglia foi convidado a viajar para Milão e tomar parte na competição com Ferrari o qual saiu melhor e consagrou vitorioso. Depois de lecionar por um ano em Bréscia, ele foi informado de que seu salário não ia ser honrado. Mesmo depois de inúmeras ações judiciais, Tartaglia não recebeu qualquer pagamento. A derrota em Milão parece ser responsável pelo não pagamento de Tartaglia. 

A fórmula descoberta por Tartaglia ficou conhecida como fórmula de Cardano-Tartaglia. No entanto, Tartaglia fez contribuições relevantes em outras áreas da Matemática. Em 1537, ele escreveu Nova Scientia um livro que tratava da aplicação da matemática nos fogos de artilharia. Nesta obra ele descreveu novos métodos e instrumentos balísticos. Ele também escreveu um texto de aritmética elementar e foi o primeiro tradutor italiano e editor dos Elementos de Euclides em 1543. Tartaglia também publicou edições latinas das obras de Arquimedes. Ele morreu na pobreza, em sua casa na Calle del Sturion perto da Ponte Rialto em Veneza. 

Texto traduzido do site:
- http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Tartaglia.html

Gostará de ler também:
- História das Equações Algébricas (Parte 1);
- História das Equações Algébricas (Parte 2);
- História das Equações Algébricas (Parte 3);
- O Método de Viéte Para Equações Cúbicas;

A Função Sinc(x)

Os estudantes de Cálculo conhecem a importância do limite trigonométrico fundamental  

[;\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1;]

O que muitos não sabem é que a função [;\sin x/x;] chamada de função [;sinc(x);] está presente em muitas áreas da Matemática. 

Definição 1: A função [;sinc(x);] é definida por:

[;sinc(x) = \begin{cases}\frac{\sin x}{x}, \quad x \neq 0\\ 1, \quad x = 0\end{cases};]

O domínio desta função é o conjunto dos números reais, a imagem é o conjunto [;[-1,1];]. O gráfico da função [;sinc(x);] é simétrico em relação ao eixo [;y;], ou seja, [;f(x) = sinc(x);] é uma função par. Para uma prova algébrica deste fato, note que

[;f(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = -\frac{\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x} = f(x);]

Sendo [;-1 \leq \sin x \leq 1;], então a função sinc(x) está compreendida entre as hipérboles [;g(x) = -1/x;] e [;h(x) = 1/x;], ou seja:

[;-\frac{1}{x} \leq sinc(x) \leq \frac{1}{x};]

Os zeros de [;f(x) = sinc(x);] são iguais aos zeros da função [;sin(x);] (Por quê?). Vejamos outras propriedades relativas a esta função.

Propriedade 1: Os pontos críticos da função [;f(x) = sinc(x);] são obtidos as raízes da equação [;\tan x = x;].

De fato, derivando a função [;f(x) = sinc(x) = \frac{\sin x}{x};] e igualando a zero, temos: 

[;f^{\prime}(x) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x\cos x = \sin x \quad \Rightarrow;]

[;\frac{\sin x}{\cos x} = x \quad \Rightarrow \quad \tan x = x;]

Propriedade 2: A série de Mclaurin da função sinc(x) é dada por

[;sinc(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n}}{(2n+1)!} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \ldots;]

Demonstração: Segue direto da série de Mclaurin da função [;\sin x;].

Propriedade 3: O balanço de área sob o gráfico da função sinc(x) e o eixo x é igual a [;\pi;], isto é, 

[;\int_{-\infty}^{\infty}sinc(x) dx = \pi;]

Demonstração: Sendo [;f(x) = sinc(x);] uma função par, então

[;\int_{-\infty}^{\infty}sinc(x)dx = 2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx;]

No post Transformadas de Laplace e Integrais Impróprias (Parte 2), deduzimos uma fórmula muito útil para calcular integrais impróprias dada por

[;\int_{0}^{\infty}\frac{f(x)}{x^n}dx = \frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{\infty}s^{n-1}F(s)ds;]

onde [;F(s) = \mathcal{L}\{f(x)\};]. No nosso caso, [;f(x) = \sin x;] e [;n = 1;]. Assim,

[;\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx = \int_{0}^{\infty}F(s)ds;]

Mas, [;\mathcal{L}\{\sin x\} = \frac{1}{1 + s^2};], de modo que

[;\int_{0}^{\infty}\sinc(x)dx = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1 + s^2}ds = \arctan(s)\mid_{0}^{\infty} = \frac{\pi}{2};]

donde segue o resultado. 

Exercício Proposto: Mostre que 

[;\int_{-\infty}^{\infty}sinc^2(x)dx = \pi;]

Definição 2: A função Si(x) chamada de "função seno integral" é definida por

[;Si(x) = \int_{0}^{x}sinc(t)dt;]

Note que [;Si(0) = 0;] e [;Si(\infty) = \pi/2;].

Propriedade 4: A função [;f(x) = sinc(x);] é expressa pelo produtório

[;sinc(x) = \prod_{n=1}^{\infty}\cos\frac{x}{2^n};]

Demonstração: De fato, pela fórmula do seno do arco duplo, temos:

[;sinc(x) = \frac{\sin x}{x} = \frac{2\sin(x/2)\cos(x/2)}{x};]

Repetindo o processo, temos:

[;sinc(x) = \cos(x/2)\frac{2\sin(x/4)\cos(x/4)}{x/2};]

 [;sinc(x) = \cos(x/2)\cos(x/4)sinc(x/4);]

Por indução finita, segue que

[;sinc(x) = \cos(x/2)\cos(x/4)\cdot \ldots \cdot \cos(x/2^n)sinc(x/2^n);]

Fazendo [;n \to \infty;], segue que 

[;\lim_{n \to \inty}sinc\biggl(\frac{x}{2^n}\biggr) = 1;]

donde segue

[;sinc(x) = \prod_{n=1}^{\infty}\cos\frac{x}{2^n};]

Propriedade 5: O centróide de um setor circular de ângulo central [;2\alpha;] é dado por:

[;\bar{y} = \frac{2}{3}sinc(\alpha);]

Demonstração: Ver o post

Propriedade 6: Área da calota esférica ilustrada na figura abaixo é dada pela fórmula

[;S = \pi \rho \cdot sinc^2\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr);]

Demonstração: Considere a figura abaixo

No post A Área do Segmento Esférico (Arquimedes) foi deduzido que a área de um segmento esférico de altura [;h;] é dada por  [;S = 2\pi Rh;]. Assim, a área da calota esférica destacada em azul na figura acima é

[;S_c = 2\pi R^2 - 2\pi Rh = 2\pi R(R - h);]

Mas, 
[;h = R\cos \theta;] de modo que

[;S_c = 2\pi R^2(1 - \cos \theta) = 2\pi R^2\cdot 2\sin^2\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr) \qquad (1);]

Por outro lado, 
[;\rho = R\theta \quad \Rightarrow \quad R = \frac{\rho}{\theta} \qquad (2);]
Substituindo [;(2);] em [;(1);], temos:

Referência Bibliográfica:

- Gearhart, William B., Shultz, Harris S. The Function Sinc. The College Mathematics Journal, March 1990. Volume 21, Number 2. 
- http://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function

Gostará de ler também:
- O LTF e o Cálculo de Áreas (Parte 1);
- O LTF e o Cálculo de Áreas (Parte 2);

- A Área do Segmento e da Calota Esférica;
- Diagramas Para Calcular Senos, Cossenos e Tangentes de Arcos Duplos, Quádruplos, etc.