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segunda-feira

Aplicação da Regra dos Trapézios na Determinação do Centroide de Placas Planas Curvilíneas

Neste semestre, lecionei a disciplina de Mecânica Aplicada e um dos tópicos apresentados é a determinação do centro de massa ou centroide de placas planas. 

Se a placa é uniforme e homogênea, o que ocorre na maioria dos casos, o centro de massa da placa localiza-se em seu centro geométrico e é chamado de centroide. Além disso, se o contorno (borda)  da placa são formados por segmentos de retas, podemos decompô-la em outras figuras geométricas conhecidas e achar facilmente o centroide. Podemos citar como exemplo, uma placa formada pelas sete figuras do quebra-cabeça tangram. Esta técnica foi usada com um trabalho teórico-prático apresentado pelos meus alunos conforme a figura abaixo:


Não entrarei em detalhes da determinação de placas planas na forma de tangrams, devido a simplicidade matemática o qual envolve o cálculo de áreas de triângulos, quadrados, paralelogramos e somatórios. 


Em algumas situações, tais como em projetos de lajes, temos placas planas com ou sem furos, cujos contornos são curvilíneos e para determinar as coordenadas do centroide, devemos usar integrais definidas e mais ainda, dependendo da função que representa o contorno curvilíneo, devemos usar métodos numéricos de integração. Isto também foi explorado em um trabalho teórico-prático. 

Para confeccionar as placas, usamos papel milimetrado A4, variando de 1 em 1 cm e as funções foram escolhidas de modo que as integrais para o cálculo dos momentos e da área fossem inviáveis analiticamente. Além disso, o intervalo da variável independente x  foi [;[0, \ 2,8 \ dm];] para que o gráfico ficar na região delimitada pela folha A4. Na figura abaixo, temos um exemplo de uma placa plana de contorno curvilíneo.

Observe que a área da placa acima é dada pela integral
[;A = \int_{0}^{2,8}f(x)dx = \int_{0}^{2,8}[1,5 + 0,2\sqrt{x}\cos(2x^2)]dx \qquad (1);]
As placas foram confeccionadas com material uniforme e homogêneo, de modo que o momento em relação ao eixo x é dado por
[;M_x = \int \int_R ydA = \frac{1}{2}\int_{0}^{2,8}f(x)^2dx \qquad (2);]
e  o momento em relação ao eixo y é dado por:
[;M_y = \int \int_R xdA = \int_{0}^{2,8}xf(x)dx \qquad (3);]
Das expressões (1), (2) e (3), segue que:
[;\bar{x} = \frac{M_y}{A} \quad \text{e} \quad \bar{y} = \frac{M_x}{A};]

Devido a escolha das funções, algumas das integrais acima não podem ser resolvidas por métodos analíticos. Assim, para achar a área, optamos pelo método dos trapézios e pelas expressões acima, segue que as coordenadas do centroide são dadas pelas expressões:
sendo a função calculada em pontos com espaçamento igual a 0,05. Deste modo, a área da placa é dada por:
Uma forma de realizar esses cálculos é através do Excel, mas preferimos construir uma tabela que foi preenchida usando uma calculadora Cásio fx82 fixada em quatro casas decimais. Abaixo, temos o cabeçalho da tabela 
O centroide encontrado desta forma foi marcado na placa confeccionada e verificado de forma experimental através de dois métodos. O primeiro foi pendurando a placa por um pequeno furo e observando se o fio de prumo passava pelo centroide e o segundo método experimental foi equilibrar a placa (tangram ou região delimitada pela curva) em um prego vertical conforme a figura abaixo: 
Barco feito de Tangram equilibrando em uma placa com um prego.

Foi impressionante observar que o centroide de todas placas calculados de forma numérica através da regra dos trapézios concordavam perfeitamente com o centroide obtido de forma experimental.

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sexta-feira

Aumento de Preço Versus Diminuição do Poder de Compra

O objetivo do presente trabalho é mostrar aos leitores como se calcula a redução percentual do poder de compra de um produto em virtude do aumento de seu preço. Vejamos um exemplo que pode ocorrer com você num determinado momento: 

Suponha que você vinha comprando um determinado produto por R$ 10,00, mas hoje o produto está custando R$ 12,50, pergunta-se em termos percentuais qual foi o aumento do preço do produto?

Resolução: 
Seja PA = Preço Antigo, PH = Preço Hoje e i = Taxa de aumento. Dados PA = R$ 10,00, PH = 12,50, queremos calcular o valor da taxa i, ou seja,
[;i = \biggl(\frac{PH - PA}{PA}\biggr)100 = \biggl(\frac{12,50 - 10,00}{10,00}\biggr)100;]
ou seja, i = 25%. 
Ora se você tem R$ 10,00, mas o produto custa R$ 12,50, pergunta-se: 

Em termos percentuais de quanto diminuiu o poder de compra dos R$ 10,00?

Resolução: 
Temos a seguinte regra de três: se 100% corresponde a R$ 12,50, quanto x% corresponde a R$ 10,00?

[;\frac{100 \ \text{por cento}}{x} = \frac{12,50}{10,00} \quad \text{ou} \quad \frac{1}{x} = \frac{12,50}{10,00};]
Resolvendo, obtém-se [;x = 0,80;] ou x = 80%.

Resposta: Os R$ 10,00 que você tem hoje, que antes tinha um poder de compra de 100%, agora só tem 80% do poder de compra. 

Se os R$ 10,00 corresponde a 80% do poder de compra, qual foi a redução em termos percentuais, do poder de compra dos R$ 10,00?

Resolução:
Para achar a redução, basta usar a fórmula do desconto comercial:
[;D = N(1 - id);]
na qual D é o desconto, N o valor nominal e id a taxa de desconto.
Dados D = R$ 10,00, N = R$ 12,50, queremos achar id. Note que
[;10 = 12,50(1 - id) \quad \Rightarrow \quad id = 0,20;]
ou seja, id = 20%.

Resposta: A redução em termos percentuais, do poder de compra de R$ 10,00 foi 20%. Falando economicamente, diz-se que 20% é a desvalorização da moeda. 

Sejam id a taxa de desvalorização da moeda e ip a taxa de valorização da moeda ou correção monetária.

Se id = 20%, qual deve ser o valor de ip a fim de os R$ 10,00 voltem a ter 100% de poder de compra?

Resolução:
Para encontrar o valor de ip, basta achar a correção monetária: 
1 - id = diminuição do poder de compra da moeda
1+ ip = correção monetária

Como o produto (1 - id) por (1 + ip) tem que ser igual a 100% do poder de compra da moeda, logo:
[;(1 - id)(1 + ip) = 1;]

Como id = 20%, segue que 
[;(1 - 0,20)(1 + ip) = 1 \quad \Rightarrow \quad ip = 0,25;] 
ou ip = 25%.
Resposta: A correção monetária deve ser de 25%, ou seja, o mesmo percentual de aumento do preço do produto. 

O aumento de preço de um produto não significa necessariamente inflação, haja vista que para haver inflação tem que haver um aumento generalizado dos preços de todos os produtos que compõem a cesta básica. A cesta básica é composta por centenas, ou até milhares de produtos; dependendo da dimensão da economia do país que se está coletando os preços dos produtos. 

Vejamos alguns exemplos do efeito da inflação no salário do trabalhador. 

1) Se a inflação acumulada nos meses subsequentes ao seu reajuste salarial foi de 25%, em termos percentuais qual foi a perda de seu salário?

Resolução:
A fórmula que nos dá a correção monetária da moeda é: (1 - id)(1 + ip) = 100% ou 
[;id = 1 - \frac{1}{1 + ip} \qquad (1);]
Como se trata de inflação, e não de aumento de preços, vamos designar ip por inflação I e id por perda P. Substituindo na expressão (1), obtém-se:
[;P = 1 - \frac{1}{1 + I} \quad \text{ou} \quad P = \frac{I}{1 + I} \qquad (2);]
Multiplicando o membro da direita da expressão (2) por 100 para obter o resultado em porcentagem, temos:
[;P = \frac{100I}{1 + I};]
Dados I = 25% = 0,25 (taxa de inflação), calcule P (perdas)?
Solução: [;P = \frac{100\cdot 0,25}{1,25} = 20;]%
Resposta: A perda foi de 20%, ou seja, seu salário perdeu 20% do poder de compra. 

2) Se em virtude da inflação seu salário perdeu 20% do poder de compra, qual deve ser o reajuste a fim de que ele volte a ter 100% de poder de compra?

Resolução: 
Designando ip por R (Reajuste) e id por P (Perda) e substituindo em (1), obtém-se:
[;P = \biggl(1 - \frac{1}{1 + R}\biggr)\cdot 100 \quad \Rightarrow \quad R = \biggl(\frac{P}{1 - P}\biggr)\cdot 100;]
Dados: P = 20% = 0,20 (Perda), queremos achar R.
Solução: 
[;R = \biggl(\frac{P}{1 - P}\biggr)\cdot 100 = \biggl(\frac{0,20}{1 - 0,20}\biggr)\cdot 100;]
Resolvendo, encontramos R = 25%.
Resposta: A fim de que o seu salário volte a ter o mesmo poder de compra de 100%, ele tem de ser reajustado em 25%.

Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado pela UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB.

quinta-feira

Um Nomógrafo Para Determinar o Dia da Semana em 2014

Os calendários e os nomógrafos (calculadoras gráficas) sempre me fascinaram pela praticidade e beleza. Já apresentamos o calendário permanente de mesa inventado por John Singleton em 1957 e também o calendário dodecaédrico. Tratando-se de nomógrafos, já apresentamos um nomógrafo que determina o índice de massa corporal e o post Usando Nomógrafos Para Calcular Somas e Produtos

Neste post, veremos um nomógrafo (figura acima) para determinar o dia da semana de qualquer data de 2014 de forma rápida simples e um pouco "misteriosa". 

Existem métodos, softwares e fórmulas que calculam o dia da semana de qualquer data entre os anos de 1900 e 2399. O post Como Descobrir o Dia da Semana em que Você Nasceu do blog Giga Matemática apresenta esse assunto de forma sucinta. 

Uma vez que os dias da semana repetem-se a cada 7 dias e os meses a cada 12 meses, temos um sistema cíclico que é tratado através da Aritmética Modular, mas vejamos um método gráfico que dispensa o cálculo de  somas ou restos de divisões.  

Tal método é o nomógrafo, o qual é um diagrama simples constituído de sete linhas e três colunas. Na primeira coluna, estão distribuídos os dias em grupos de 7 linhas. Na segunda, temos os dias da semana de forma cíclica, começando por quarta-feira, pois 01 de janeiro de 2014 foi numa quarta-feira. Na última coluna, os meses do ano distribuídos nas linhas. 

Para confeccionar o nomógrafo, copie ou salve a imagem em um arquivo do Word. Em seguida, recorte um pedaço de papel cartão ou cartolina branca do tamanho de uma folha A4 e imprima. 

Para usar o nomógrafo, pegue uma régua para auxiliá-lo. Na figura abaixo, temos algumas datas destacadas.
Por exemplo, 01 de junho ocorrerá no domingo e 04 de setembro ou 25 de dezembro ocorrerá numa quinta-feira.

Gostará de ler também:
- Construindo a Cardioide com Barbantes;
- A Calculadora que Soma Frações de Polegadas.

terça-feira

Equações do Segundo Grau com uma Variável

As equações do segundo grau ou quadráticas é um dos assuntos elementares mais fascinantes em toda Matemática. Elas surgem de várias aplicações geométricas, físicas, problemas históricos e de contagem.

Por exemplo, suponha um grupo de alunos resolvem arrecadar dinheiro da seguinte forma: O primeiro aluno sorteado contribui com 20 reais, o segundo com 22 reais, o terceiro com 24 reais e assim por diante. Sabendo que foi arrecadado 376 reais, para descobrir o número de alunos que compõe o grupo, devemos resolver uma equação quadrática. Na Física, o cálculo do tempo de queda de um projétil lançado próximo a superfície terrestre também requer a resolução de uma equação do segundo grau. Elas também surgem no cálculo dos autovalores de uma matriz quadrada de ordem 2. Existem tantos outros exemplos em vários do conhecimento em que esta equação está presente, que é importantíssimo o seu estudo e compreensão.

Definição 1: Sejam [;a;], [;b;] e [;c;] números reais com [;a \neq 0;]. A equação 
[;ax^2 + bx + c = 0 \qquad (1);]
é dita equação do [;2^{\underline{\circ}};] grau ou quadrática. Os números [;a;], [;b;] e [;c;] são os coeficientes da equação. Se [;b;] ou [;c;] são nulos, dizemos que (1) é uma equação incompleta. Caso contrário, ela é dita completa. 

Exemplo 1: Identifique os coeficientes das equações do segundo grau abaixo e classifique-as em completas e incompletas. 
a) [;2x^2 - x - 3 = 0;]
b) [;4x^2 + \sqrt{5} = 0;]
c) [;\frac{x}{3} - \sqrt{2}x^2 = 0;]

Resolução: 
a) Comparando com a equação (1), temos [;a = 2;], [;b = -1;] e [;c = -3;]. Deste modo, a equação do segundo grau dada é completa. 
b) Nesse caso, [;a = 4;], [;b = 0;] e [;c = \sqrt{5};]. Logo, é uma equação do segundo grau incompleta. 
c) Nesse caso, [;b=1/3;], [;b = -\sqrt{2};] e [;c=0;]. Logo, é uma equação do segundo grau incompleta.  

Definição 2: O número [;\alpha;] é uma raiz ou zero da equação quadrática (1) se [;a\alpha^2 + b\alpha + c = 0;].

Proposição 1: Se [;\alpha;] e [;\beta;] são raízes distintas da equação (1), então:
i) [;\alpha + \beta = -\frac{b}{a};]
ii) [;\alpha\cdot \beta = \frac{c}{a};]

Demonstração:
i) Sendo [;a\alpha^2 + b\alpha + c = 0;] e [;a\beta^2 + b\beta + c = 0;], segue que 
[;a(\alpha^2 - \beta^2) + b(\alpha - \beta) = 0 \quad \Rightarrow;]
[;a(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) + b(\alpha - \beta) = 0 \quad \Rightarrow;]
[;(\alpha - \beta)[a(\alpha + \beta) + b] = 0;]
Sendo [;\alpha \neq \beta;], segue que [;\alpha + \beta = -\frac{b}{a};].
ii) Note que 
[;a(\alpha^2 + \beta^2) + b(\alpha + \beta) + 2c = 0 \quad \Rightarrow;]
[;a(\alpha^2 + \beta^2) + b(-\frac{b}{a}) = -2c \quad \Rightarrow;]
[;\alpha^2 + \beta^2 = \frac{b^2 - 2ac}{a^2} \qquad (2);]
Por outro lado, 
[;(\alpha + \beta)^2 = \frac{b^2}{a^2} \quad \Rightarrow;]
 
Usando a expressão (2), temos:
[;2\alpha \beta = \frac{b^2}{a^2} - \frac{b^2 - 2ac}{a^2} = \frac{2c}{a};]
donde segue o resultado. 

Observe que esta Proposição nos possibilita achar a soma e o produto das raízes da equação quadrática sem conhecê-las.

Definição 2: Chama-se discriminante da equação (1) o número [;\Delta = b^2 - 4ac;]. 

Corolário 1: Se [;\alpha;] e [;\beta;] são as raízes da equação quadrática (1), então  
[;(\alpha - \beta)^2 = \frac{\Delta}{a^2} \qquad (3);]

Demonstração: De fato, 
[;(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha \beta;]
 Da expressão (2), segue que
[;(\alpha - \beta)^2 = \frac{b^2 - 2ac}{a^2} - \frac{2c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2};] 

Exemplo 2: Ache a soma e o produto das raízes das equações do segundo grau abaixo:
a) [;4x^2 - 4x + 1 = 0;]
b) [;8x^2 - 20x + 12 = 0;]

Resolução: 
a) Sendo [;a = 4;], [;b = -4;] e [;c = 1;], então 
[;\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{(-4)}{4} = 1 \quad \text{e} \quad \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{1}{4};]
b) Analogamente, [;\alpha + \beta = \frac{20}{8} = \frac{5}{2};] e [;\alpha \beta = \frac{12}{8} = \frac{3}{2};]

Proposição 2: As raízes da equação quadrática incompleta [;ax^2 + bx = 0;] são [;\alpha = 0;] e [;\beta = -\frac{b}{a};].

Demonstração: De fato, 
[;ax^2 + bx = 0 \quad \Rightarrow \quad x(ax + b) = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha = 0 \quad \text{e} \quad \beta = -\frac{b}{a};]
Portanto, se o coeficiente [;c;] da equação quadrática é nulo, podemos colocar [;x;] como fator comum em evidência e resolver facilmente a equação. 

Proposição 3: As raízes da equação quadrática incompleta [;ax^2 + c = 0;] são dadas por [;x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}};].

Demonstração: Fica a cargo do leitor. 

Proposição 4: As raízes da equação quadrática (1) são: 
[;\alpha = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{e} \quad \beta = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a};]
Demonstração: Da Prop. 1 e do Cor. 1, temos o sistema de equações nas variáveis [;\alpha;] e [;\beta;]:
[;\begin{cases} \alpha + \beta = -\frac{b}{a}\\ \alpha - \beta = \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{a} \end{cases};]
Somando e subtraindo essas equações, segue o resultado. 

Observe que se  o discriminante [;\Delta;] for nulo, teremos uma raiz de multiplicidade 2 e se ele for negativo as raízes não são reais. 

Exemplo 3: Resolva as equações quadráticas abaixo:
a) [;x^2 - 5x + 4 = 0;]
b) [;x^2 + x + 1/4 = 0;]
c) [;(2x + 1)^2 + x = (x + 2)^2 + 1;]

Resolução:
a) Nesse caso, [;\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 = 9 > 0;], de modo que 
[;x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm 3}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2} \quad \Rightarrow;]
b) Nesse caso, [;\Delta = 1 - 4\cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = 0;], de modo que 
[;\alpha = \beta = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2\cdot 1/4} = -\frac{1}{2};] 
c) Desenvolvendo a expressão, temos:
[;4x^2 + 4x + 1 + x = x^2 + 4x + 4 + 1 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 + x - 4 = 0;]
O discriminante é [;\Delta = 1^2 - 4\cdot 3\cdot (-4) = 49;]. Logo, 
[;x = \frac{-1 \pm 7}{6} \quad \Rightarrow \quad \alpha = -\frac{4}{3} \quad \text{e} \quad \beta = 1;]

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sábado

A Regra dos Trapézios Para o Cálculo de Integrais Definidas

Uma regra de integração numérica fácil de usar e que obtém bons resultados desde que o número de subintervalos seja grande é a regra dos trapézios. Seu princípio é semelhante a construção da integral definida em um intervalo [;[a,b];], porém ao invés de usar retângulos para aproximar a área abaixo do gráfico de uma função [;f;] positiva, usamos trapézios. 
Formalmente, considere uma função [;f;] contínua no intervalo [;[a,b];]. Queremos calcular a integral definida
[;\int_{a}^{b} f(x)dx \qquad (1);]
usando pequenos trapézios de altura constante igual a [;\Delta x = (b - a)/n;] conforme veremos abaixo. Vejamos o caso em que [;f(x) \geq 0;] para todo [;x \in [a,b];], conforme a figura acima. 

Note que [;x_0 = a;] e [;x_n = b;] e que a integral acima representa a área da delimitada pelo eixo [;x;], pelo gráfico de [;f;] e pelas retas [;x = a;] e [;x = b;]. Sendo os intervalos uniformes, então 
[;x_1 = a + \Delta x;]
[;x_2 = a + 2\Delta x;]
[;\vdots \quad \vdots;]
[;x_n = a + n\Delta x \quad \Rightarrow \quad \Delta x = \frac{b - a}{n};]
O primeiro trapézio é formado pelos pontos [;(a,0);], [;(x_1,0);], [;(x_1,f(x_1));] e [;(a,f(a));] e sua área é 
[;A_1 = (x_1 - a)\cdot \frac{[f(a) + f(x_1)]}{2} = \frac{[f(x_0) + f(x_1)]\Delta x}{2};] 
A área do segundo trapézio é dada por:
[;A_2 = \frac{[f(x_1) + f(x_2)]\Delta x}{2};]
A do terceiro é 
[;A_3 = \frac{[f(x_2) + f(x_3)]\Delta x}{2};]
e a do último é 
[;A_n = \frac{[f(x_{n-1}) + f(b)]\Delta x}{2} = \frac{[f(x_{n-1}) + f(x_n)]\Delta x}{2};]
Assim, a integral definida (1) acima, é aproximadamente igual a:
[;A_1 + A_2 + A_3 + \ldots + A_n;]
ou seja, 
[;\int_{a}^{b}f(x)dx \simeq \sum_{k=0}^{n}\frac{[f(x_k) + f(x_{k+1})]\Delta x}{2};]
 [;= \frac{(b - a)}{2n}[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \ldots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)];]
[;=\frac{(b - a)[f(x_0) + f(x_n)]}{2n} + \frac{(b - a)}{n}\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k) \qquad (2);]
Exemplo 1: Calcule aproximadamente a área sob o gráfico de [;f(x) = x^2;], o eixo [;x;] e as retas [;x = 0;] e [;x = 2;] usando [;8;] trapézios. 

Resolução: Nesse caso, [;a = 0;], [;b = 2;] e [;n = 8;], de modo que
[;x_k = a + k\Delta x = 0 + \frac{k(2 - 0)}{8} = \frac{k}{4};]
Assim,
[;\int_{0}^{2}x^2dx \simeq \frac{(2 - 0)}{2\cdot 8}\cdot [f(2) - f(0)] + \frac{2 - 0}{8}\sum_{k=1}^{7}f(k/4);]
[;\simeq \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\biggl[\bigl(\frac{1}{4}\bigr)^2 + \bigl(\frac{2}{4}\bigr)^2 + \bigl(\frac{3}{4}\bigl)^2 + \bigl(\frac{4}{4}\bigr)^2 + \bigl(\frac{5}{4}\bigr)^2 + \bigl(\frac{6}{4}\bigr)^2 + \bigl(\frac{7}{4}\bigr)^2\biggr];]
[;\simeq 2,6875;]
O valor exato é [;2,666\ldots;].

É claro que nesse exemplo a integral dada é muito simples e poderia ser resolvida diretamente. Em muitas aplicações isso não ocorre e a regra acima aproxima-se cada vez mais do valor exato se o valor de [;n;] é muito grande. 

Exemplo 2: Mostre que a abscissa do centroide de uma placa plana uniforme e homogênea delimitada superiormente pelo gráfico de uma função positiva [;f;], inferiormente pelo eixo [;x;] e lateralmente pelas retas [;x = 0;] e [;x = b;] é aproximadamente igual a 
[;\bar{x} \simeq\frac{bf(b) + 2\sum_{k=1}^{n-1}x_kf(x_k)}{f(0) + f(b) + 2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)};]
onde [;n;] representa o número de subdivisões do intervalo [;[0,b];].
Resolução: A abscissa [;\bar{x};] do centroide [;G;] de uma placa plana uniforme e homogênea, delimitada pelo eixo [;x;], pelo gráfico de [;f;] e pelas retas [;x = a;] e [;x = b;] é
[;\bar{x} = \frac{1}{A}\int_{a}^{b}xf(x)dx;]
onde 
[;A = \int_{a}^{b}f(x)dx;]. No caso em que [;a = 0;], temos da expressão (2) que 
[;\int_{0}^{b}f(x)dx \simeq \frac{b}{2n}[f(0) + f(b)] + \frac{b}{n}\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k);]

Temos também:
[;\int_{0}^{b}xf(x)dx \simeq \frac{b}{2n}[0f(0) + bf(b)] + \frac{b}{n}\sum_{k=1}^{n-1}x_kf(x_k);]
[;=\frac{b}{n}\biggl[\frac{bf(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1}x_kf(x_k)\biggr];]
de modo que
[;\bar{x} = \frac{1}{A}\int_{0}^{b}xf(x)dx \simeq \frac{\frac{b}{n}\biggl[\frac{bf(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1}x_kf(x_k)\biggr]}{\frac{b}{n}\biggl[\frac{f(0) + f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)\biggr]};]
donde segue o resultado. 

Exercício Proposto: Mostre que a ordenada do centroide de uma placa plana uniforme e homogênea delimitada superiormente pelo gráfico da função positiva [;f;], inferiormente pelo eixo [;x;] e lateralmente pelas retas [;x = 0;] e [;x = b;] é aproximadamente igual a

[;\bar{y} = \frac{\frac{f(0)^2 + f(b)^2}{2} + \sum_{k=1}^{n - 1}f(x_k)^2}{f(0) + f(b) + 2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)};]

- Regra dos Trapézios Repetida (Blog O Baricentro da Mente).