Fatos Matemáticos

sexta-feira, 27 de novembro de 2009

Olimpíadas dos Fatos Matemáticos (Parte 2)

Na categoria de Matemática Básica recebi resoluções das questões $[;1;]$ , $[;2;]$ e $[;3;]$ . A categoria Matemática Superior continua aberta a participações, lembrando que o primeiro colocado receberá um mini-soroban de madeira com um pequeno manual de instruções. Para maiores informações sobre o regulamento (click aqui).

Vejamos as resoluções das questões da primeira rodada:
1) Sejam $[;C_1;]$ e $[;C_2;]$ duas circunferências concêntricas de raios $[;r;]$ e $[;R;]$ respectivamente, com $[;r \prec R;]$ . Os pontos $[;A;]$ , $[;B;]$ e $[;C;]$ , distintos dois a dois, pertencem a $[;C_2;]$ e as cordas $[;AB;]$ e $[;AC;]$ são tangentes a $[;C_1;]$ . Sabendo que $[;R = 5;]$ e $[;BC = 8;]$ , determine o raio de $[;C_1;]$ .

O triângulo $[; \Delta ANB;]$ é retângulo em $[;N;]$ e semelhante ao triângulo $[;\Delta OMA;]$ , porque têm os três ângulos congruentes. Assim,

$[;\frac{OM}{BN} = \frac{OA}{BA} \quad \Rightarrow \quad \frac{r}{4} = \frac{5}{2MA};]$

pois $[;OM = r,\ BN = 4, \ OA = R = 5;]$ e $[;BA = 2MA;]$ . Assim, tem-se $[;MA = \frac{10}{r};]$ . Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo $[;\Delta OMA;]$ , obtém-se a equação $[;r^2 + (10/r)^2 = 5^2;]$ , cujas soluções são $[;r = 2\sqrt{5};]$ e $[;r = 2\sqrt{5};]$ . Sendo $[;OA/BA \prec 1;]$ , então $[;r \prec 4;]$ , donde segue que $[;r = \sqrt{5};]$ . Fonte: XXI OPM - Categoria B/2003.

2) Analisando-se certa amostra de leite, verificou-se que havia adicionado água. Um litro de leite adulterado pesa $[;1015 \ g;]$ . Calcule quantos $[;ml;]$ de água adicionada contém $[;1;]$ litro dessa amostra, sabendo que o leite puro pesa $[;1025 \ g;]$ por litro e água pesa $[;1000\ g;]$ por litro.

Note que a amostra de leite adulterado, é uma mistura de leite puro com água. A densidade é definida por $[; d = \frac{m}{V};]$ , então se $[;x;]$ é a quantidade de água presente na amostra de leite adulterado de volume $[;1000 \ ml;]$ , a quantidade de leite puro é $[;1000 - x;]$ . Sendo, a densidade do leite adulterado igual a $[;1,015\ g/ml;]$ , então

$[;1,015 = \frac{1,025.(1000 - x) + 1,000.x}{(1000 - x) + x} \quad \Rightarrow \quad x = 400 \ ml;]$

3) Prove que num triângulo $[;ABC;]$ agudo, vale a relação:

$[; \frac{(a+b)/2}{(a-b)/2} = \frac{\tan(A+B)/2}{\tan(A-B)/2};]$

Aplicando a lei dos senos no triangulo $[;\Delta ABC;]$ , temos:

$[;\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B} \quad \Rightarrow \quad \frac{a+b}{b} = \frac{\sin A + \sin B}{\sin B};]$ $[;\text{e} \quad \frac{a - b}{b} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin B};]$

de modo que

$[;\frac{a + b}{a - b} = \frac{\sin A +\sin B}{\sin A - \sin B} = \frac{2\sin[(A+B)/2]\cos[(A - B)/2]}{2\sin[(A - B)/2]\cos[(A + B)/2]};]$

Aplicando a definição de tangente em um triângulo retângulo, segue o resultado. Solução enviada por Gustavo Oliveira.

Vejamos agora as questões desta etapa:

1) Resolva a equação $[;x^4 - 2x^2 + 5x - 6 = 0;]$ .
2) Quanto tempo após o meio dia, o ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos formam um ângulo de $[;90^{\circ};]$ .
3) Seja o número complexo $[;z = x + iy;]$ . Prove que $[;\mid x \mid + \mid y \mid \leq \sqrt{2}\mid z \mid;]$ .
4) Na figura abaixo $[;AD = 16;]$ , $[;AC = 15;]$ e $[;BD = 12;]$ . Determine a área do $[;\Delta ABE;]$ .

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terça-feira, 24 de novembro de 2009

Criptografando Através de Matrizes

A criptografia é uma ciência muito rica e interessante que desenvolveu ao longo da história, culminando na máquina enigma usada pelos nazistas durante a Segunda Grande Guerra Mundial e aos modernos computadores. Para os interessados nessa história, recomendo o livro de Simon Singh "O Livro dos Códigos" da Editora Record.

Neste post, vejamos uma atividade interessante que pode ser desenvolvida em sala de aula, aplicando o conhecimento de produto de matrizes e de matrizes inversas, ou seja, usaremos a equação

$[;A^{-1}(AB) = B;]$

Para isto, seja $[;A;]$ uma matriz $[;3\times 3;]$ com entradas inteiras e cujo determinante é $[;1;]$ e $[;B;]$ é a matriz mensagem que possui $[;3;]$ linhas e um número variável de colunas conforme o tamanho da mensagem. Existem infinitas matrizes com estas condições, eu escolhi a seguinte:

Podemos dizer que a matriz $[;A;]$ é a "matriz de cifragem" e a matriz $[;A^{-1};]$ é a "matriz decodificadora", pois é através dela que teremos a mensagem decodificada.

O próximo passo é criar um alfabeto numérico correspondente ao alfabeto latino. Existem várias formas de escolher esta associação, e uma delas é a seguinte:

$[; - = 0, \ A = 1, \ B = -1;]$

$C = 2, \ D = -2, \ E = 3, \ F = -3, \ G = 4, \ H = -4, \ I = 5, \ J = - 5$

$[;K =6, \ L = -6,\ M = 7,\ N = -7,\ O = 8,\ P = -8,\ Q = 9, \ R =-9;]$

$[;S = 10, \ T = -10, \ U = 11, \ V = -11, \ X = 12, \ Y = -12, \ Z = 13, \ W = -13;]$

Vejamos como podemos criptografar a frase:

"O-ELEMENTAR-PODE-SER-PROFUNDO"

Usando as letras acima, a matriz $[;B;]$ é dada por

A "matriz mensagem criptografada" e que pode ser pública é igual ao produto da matriz $[;A;]$ pela matriz $[;B;]$ acima, que possuirá no nosso caso, $[;3;]$ linhas e $[;11;]$ colunas. Tanto a matriz $[;A;]$ , quanto sua inversa $[;A^{-1};]$ , deverão ser de conhecimento apenas do emissor e do receptor da mensagem.

Assim, enviando a "matriz mensagem criptograda" $[;AB;]$ , o receptor descobre a mensagem aplicando a matriz decodificadora $[;A^{-1};]$ , ou seja, $[;B = A^{-1}(AB);]$ .

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segunda-feira, 23 de novembro de 2009

Mais 10 Fatos Curiosos do Número 23

Na primeira parte deste post eu publiquei $[;10;]$ fatos curiosos do número $[;23;]$ (click aqui). Pesquisando na internet encontrei mais algumas pérolas sobre este número. Misticismo ou simples coincidência, eis os novos fatos.

$[;1);]$ $[;23;]$ é um primo de Sophie Germain. (Um número primo $[;p;]$ é um número primo de Sophie Germain se $[;2p+1;]$ é também primo. São famosos porque Sophie Germain provou que o Último Teorema de Fermat é verdadeiro para estes números).

$[;2);]$ A Igreja Católica é constituída por $[;23;]$ igrejas autônomas.

$[;3);]$ A primeira transmissão do código morse utilizou uma passagem bíblica: Números $[;23:23;]$ .

$[;4);]$ Existem $[;23;]$ problemas na famosa lista de problemas matemáticos não resolvidos de David Hilbert, apresentada no Congresso Internacional de Matemática em Paris em $[;1900;]$ .

$[;5);]$ A marcha do sal de Ghandi durou $[;23;]$ dias.

$[;6);]$ O imperador romano Júlio Cesar foi assassinado com $[;23;]$ facadas.

$[;7);]$ É possível demonstrar (futuro post) que num grupo de $[;23;]$ pessoas, a probabilidade de duas pessoas escolhidas aleatoriamente fazer aniversário no mesmo dia é maior que 50 %

$[;8);]$ O Titanic afundou na manhã do dia $[;15;]$ de abril de $[;1912;]$ ( $[;1+5+4+1+9+1+2 = 23;]$ ).

$[;9);]$ A soma de $[;11;]$ de setembro de $[;2001;]$ ( $[;11 + 9 + 2 + 0 + 0 +1 = 23;]$ ).

$[;10);]$ WTC (World Trade Center) $[;= 23 + 20 + 3 = 46/2;]$ (duas torres) $[;=23;]$ .

E por curiosidade, o Brasil foi descoberto no dia $[;22;]$ de abril de $[;1500;]$ . Esta data passou bem perto.
Fonte: www.wikipedia.org/

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sábado, 21 de novembro de 2009

Grandes Matemáticos (Leonhard Euler)

"Leia Euler, ele é nosso mestre em tudo", dizia Pierre Simon de Laplace.

Leonhard Euler ( $[;1707-1783;]$ ) nasceu na cidade da Basiléia na Suiça e é considerado juntamente com Arquimedes, Isaac Newton e Carl Gauss um dos maiores matemáticos de todos os tempos.

Inicialmente, ele foi educado por seu pai, um ex-aluno de Jacob Bernoulli. Em $[;1720;]$ , iniciou seus estudos em Teologia na Universidade da Basiléia, mas tomou gosto pela Matemática, tendo como tutor o matemático Johann Bernoulli.

Aos $[;19;]$ anos apresentou como tese para cátedra de Física uma memória sobre a Física do som e depois não parou mais de publicar. Para se ter uma idéia da extensão de sua obra, a Academia de Ciências de São Petesburgo continou a publicar seus trabalhos por mais $[;50;]$ anos após sua morte.

Euler o primeiro a tratar seno e cosseno como funções, inventou o ciclo trigométrico. Devemos a ele a invenção do símbolo $[;f(x);]$ para função de $[;x;]$ , os símbolos $[;e;]$ para representar a base dos logaritmos neperianos, $[;\pi;]$ para a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência, $[;i;]$ para representar a raiz quadrada de menos $[;1;]$ , a letra grega $[;\sum;]$ para representar o somatório, $[;d^n y;]$ , para representar a derivada de ordens superiores, além de designar os vértices de um triângulo por letras latinas maiúsculas ( $[;A,B,C,\ldots;]$ ) e os lados por letras latinas minúsculas ( $[;a,b,c,\ldots;]$ ).

Euler trabalhou em diversas áreas da Matemática, para ele não tinha distinção entre Matemática Pura e Aplicada. Citarei alguns problemas famosos que ele estudou.

Mostrou que o problema das $[;7;]$ Pontes de Konisberg não tinha solução;
A relação de Euler-Descartes referente aos poliedros;
As fórmulas $[;e^{i\theta}= \cos\theta + i\sin \theta;]$ e $[;e^{\pi i} + 1 = 0;]$ ;
Estudou as EDO lineares;
Descobriu o operador laplaciano $[;\Delta;]$ antes mesmo de Laplace, quando estudava as propriedades dos fluidos;
Desenvolveu o Cálculo das Variações, mas deu todos o créditos para Lagrange que tinha idéias semelhantes.
Descobriu um método para achar as somas dos recíprocos dos inteiros de expoente par e como caso particular concluiu que $[;\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}+\ldots = \frac{\pi^2}{6};]$ ;
As funções gama e beta são devido a Euler;
Desenvolveu as equações para a dinâmica dos corpos rígidos.
A função $[;\phi;]$ apresentada por ele tem destaque na Teoria dos Números.

Devido a sua obra, houve grande avanço na Matemática sem muito formalismo , mas este pensamento é alterado radicalmente pelos matemáticos do século $[;XIX;]$ e irá dominar toda a Matemática até a atualidade. A combinação de intuicionismo com rigor lógico expande tanto este ramo do conhecimento a níveis inimagináveis na época de Euler.

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sexta-feira, 20 de novembro de 2009

A Lei dos Cossenos Através da Regra de Cramer

As vezes a relação entre assuntos de áreas distintas da Matemática nos surpreende muito. Por exemplo, todos conhecem a Lei dos Cossenos que diz que "o quadrado de um lado qualquer de um triângulo é igual a soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles" e uma demonstração clássica é a aplicação do Teorema de Pitágoras.

É interessante observar que regra de Cramer para resolver sistemas lineares através de determinantes (veja na imagem acima um exemplo) pode ser usada para fornecer uma demonstração da Lei dos Cossenos. Para isso, considere a figura abaixo.

Aplicando a definição do cosseno nos triângulos $[;\Delta ADC;]$ e $[;\Delta BCD;]$ , segue que $[; m = b \cos A;]$ e $[;n = a\cos B;]$ , de modo que

$[;c = m + n = a\cos B + b\cos A \quad \quad (1);]$

Analogamente,

$[;a = b\cos C + c\cos B \quad \quad (2);]$ e $[;b = a\cos C + c\cos A \quad \quad (3);]$

Das equações $[;(1);]$ , $[;(2);]$ e $[;(3);]$ , temos o sistema linear

$[;\begin{cases} b\cos C + c\cos B = a\\ a\cos C + c\cos A = b\\ a\cos B + b\cos A = c \end{cases};]$

nas variáveis $[;\cos A;]$ , $[;\cos B;]$ e $[;\cos C;]$ . Usando a regra de Cramer neste sistema linear, segue após alguns cálculos que $[;D = 2abc;]$ e que $[;D_c = c(a^2 + b^2 - c^2);]$ . Sendo

$[;cos C = \frac{D_c}{D} = \frac{c(a^2 + b^2 - c^2)}{2abc};]$

ou seja,

$[;c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C;]$

as outras relações segue de modo análogo.

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terça-feira, 17 de novembro de 2009

Olímpiadas dos Fatos Matemáticos (Parte 1)

Para todos que gostam de desafios e com o objetivo de divulgar a prática do Mini-Soroban , criei as Olimpíadas dos Fatos Matemáticos, que constará de $[;3;]$ questões de Matemática Básica (Geometria, Álgebra e Trigonometria) e $[;3;]$ de Matemática Superior (Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear e Equações Diferenciais).

Serão $[;4;]$ rodadas nos dias $[;17/11;]$ , $[;27/11;]$ , $[;07/12;]$ e $[;17/12/2009;]$ . As questões devem ser entregues $[;1;]$ antes da próxima rodada. A melhor solução de cada pergunta em cada rodada, será publicada no início de cada rodada, ou seja, no dia $[;27/11;]$ publicarei as resoluções das questões da primeira rodada e assim por diante.

Premiação: Dois Mini-Soroban (imagem acima) de madeira com um pequeno manual, um para cada categoria, nas cores verde claro e verde escuro, azul escuro e azul claro e rosa com azul claro, enviado pelo correio aos vencedores.

Regras:

I) O participante tem que ser um seguidor do blog;

II) Para ficar interessante a disputa, teremos duas categorias: Matemática Básica e Matemática Superior e os concorrentes devem escolher apenas uma das categorias para participar.

III) As soluções devem ser enviadas por e-mail para linnux2001@gmail.com e podem ser digitadas em pdf ou doc ou uma imagem ou foto dos cálculos manuscritos.

IV) O participante ganhará $[;7;]$ pontos a cada reposta correta e a cada novo seguidor que o participante indicar, ele ganhará $[;5;]$ pontos extras. Vencerá os participantes que obter mais pontos em todas a rodadas somando os pontos extras adquiridos. Para indicar novos seguidores, basta que ele deixe o recado "conheci este blog através do colega _____" nos comentários de algum post ou na caixa de recados.

V) As inscrições podem ser feitas comentando este post e o último dia para enviar as soluções da primeira rodada é $[;22/11/2009;]$ . Esta promoção é restrita os internautas residentes no Brasil, devido as dificuldades de enviar o prêmio. Com essas regras esclarecidas, vejamos quais são as questões desta fase.

Questões da Primeira Rodada:

Matemática Básica:

1) Sejam $[;C_1;]$ e $[;C_2;]$ duas circunferências concêntricas de raios $[;r;]$ e $[;R;]$ respectivamente, com $[;r \prec R;]$ . Os pontos $[;A;]$ , $[;B;]$ e $[;C;]$ , distintos dois a dois, pertencem a $[;C_2;]$ e as cordas $[;AB;]$ e $[;AC;]$ são tangentes a $[;C_1;]$ . Sabendo que $[;R = 5;]$ e $[;BC = 8;]$ , determine o raio de $[;C_1;]$ .

2) Analisando-se certa amostra de leite, verificou-se que havia adicionado água. Um litro de leite adulterado pesa $[;1015 \ g;]$ . Calcule quantos $[;ml;]$ de água adicionada contém $[;1;]$ litro dessa amostra, sabendo que o leite puro pesa $[;1025 \ g;]$ por litro e água pesa $[;1000\ g;]$ por litro.

3) Prove que num triângulo $[;ABC;]$ agudo, vale a relação:

$[; \frac{(a+b)/2}{(a-b)/2} = \frac{\tan(A+B)/2}{\tan(A-B)/2};]$

Matemática Superior:

4) Seja $[;P_0(x_0,y_0);]$ um ponto no primeiro quadrante. Determine as dimensões do triângulo retângulo da área mínima limitado pela reta que passa por $[;P_0;]$ e pelos eixos coordenados.

5) Determine o valor da integral imprópria

$[;\int_{0}^{\infty} e^{-x}\ \frac{\sin x}{x}dx;]$

6) Achar a equação da curva que passa pelo ponto $[;(2,0);]$ , sabendo-se que o segmento da tangente desta curva, compreendido entre o ponto de contato e o eixo $[;y;]$ , tem comprimento constante e igual a $[;2;]$ .

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segunda-feira, 16 de novembro de 2009

A Calculadora do Google

O Google além de ser um excelente site para pesquisas, é possível também usá-lo como calculadora ou para converter unidades.

Para utiliza-la é bastante simples, basta acessa a página do Google (http://www.google.com.br), digitar a conta que queremos fazer ou as unidades para conversão e apertar ou clicar em “Pesquisa Google” e sua conta ou conversão será feita. Abaixo está uma lista dos comandos necessários:

1) $[;*;]$ asterisco para multiplicação. Ex. $[;5*6 = 30;]$ ;
2) $[; / ;]$ barra para divisão. Ex. $[;48/6 = 8;]$ ;
3) $[;+;]$ e $[;-;]$ para soma e subtração;
4) ^ acento circunflexo para potenciação. Ex. 2^3 = 8;
5) () parênteses para separar sentenças. Ex. 4*(5 + 2)/7 = 4

Apresento abaixo mais alguns exemplos de cálculos envolvendo funções.

1) sin(pi/6) = 0.5;
2) cos(180 degree) = -1;
3) tan(45 degree);
4) ln(2) = 0.693147181;
5) exp(1) = 2.71828183;
6) log(100) = 2;

Além dessas funções temos também as funções sinh(x), cosh(x), tanh(x), arcsin(x), arccos(x) e arctan(x) e para transformar unidades, basta digitar a primeira unidade, a palavra para e a segunda unidade.

Exemplo 1: Digite metro para centímetros e aperte enter. R: 1 m = 100 centímetros.
Exemplo 2: 1 m^2 para 1 mm^2. R: 1 m^2 = 1 000 000 mm^2.

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Fatos Matemáticos

sexta-feira, 27 de novembro de 2009

Olimpíadas dos Fatos Matemáticos (Parte 2)