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O Método dos Autovetores Para Resolver Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias (Parte 1)

Veremos este assunto de uma forma em que auxilie o leitor a compreender as ideias sem se preocupar com a generalização do método que segue de modo análogo. Sendo assim, trataremos dos sistemas de equações diferenciais de coeficientes constantes dado por
[;\begin{cases}\frac{dx_1}{dt} = a_{11}x_1 + a_{12}x_2\\\frac{dx_2}{dt} = a_{21}x_1 + a_{22}x_2\end{cases} \qquad (1);]

sendo [;x_1 = x_1(t);], [;x_2 = x_2(t);], [;a_{11},a_{12},a_{21};] e [;a_22 \in \mathbb{R};].

É usual denotar [;dx_1/dt;] e [;dx_2/dt;] por [;\dot{x}_{1};] e [;\dot{x}_{2};] respectivamente. Assim, podemos reescrever o sistema [;(1);] na forma:

[;\begin{cases}\dot{x}_{1} = a_{11}x_1 + a_{12}x_2\\\dot{x}_{2} = a_{21}x_1 + a_{22}x_2\end{cases};]

ou

[;\begin{bmatrix}\dot{x}_{1}\\\dot{x}_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{11} \quad a_{12}\\a_{21} \quad a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix} \qquad (2);]

Para simplificar a notação, considere os vetores [;\vec{x} = [x_1(t) \ x_2(t)]^{T};] e
[;\vec{\dot{x}} = [\dot{x}_{1}(t) \ \dot{x}_{2}(t)];]. Se definirmos a matriz [;A;] por
[;A = \begin{bmatrix}a_{11} \quad a_{12}\\a_{21} \quad a_{22}\end{bmatrix};]

segue da expressão [;(2);]que

[;\vec{\dot{x}} = A\vec{x} \qquad (3);]

Esta é a forma vetorial do sistema de equações diferenciais [;(1);]. Para resolver [;(3);], suponhamos que a solução pode ser escrita na forma:

[;\vec{x}(t) = \vec{v}e^{\lambda t} \qquad (4);]

onde [;\lambda;] é um parâmetro e [;\vec{v} = [v_1 \ v_2]^{T};]é um vetor coluna constante. Substituindo [;(4);] em [;(3);], temos:

[;\frac{d}{dt}(\vec{v}e^{\lambda}) = A(\vec{v}e^{\lambda t}) \quad \Rightarrow \quad \vec{v}\lambda e^{\lambda t} = e^{\lambda t}A\vec{v} \quad \Rightarrow;]


[;A\vec{v} = \lambda \vec{v} \quad \text{ou} \quad (A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0} \qquad (5);]

Da Álgebra Linear, um sistema linear homogênea possui solução não-trivial se e somente se

[;\det(A - \lambda I) = P(\lambda) = 0 \qquad (6);]

[;P(\lambda);] é chamado polinômio característico e nesse caso é dado por

[;P(\lambda) = \lambda^2 - tr(A)\lambda + \det(A) = 0 \qquad (7);]

onde [;tr(A) = a_{11} + a_{22};] é o traço da matriz [;A;]. As raízes da equação são chamadas de autovalores, enquanto a solução não-nula correspondente a [;\lambda;] é chamado de autovetor associado com o autovalor [;\lambda;].

Sendo [;\Delta = tr(A)^2 - 4\det(A);], temos três casos: [;\Delta \succ 0;], [;\Delta = 0;] e [;\Delta \prec 0;].

Caso 1: [;\Delta \succ 0;]

Nesse caso, as raízes são reais e distintas, digamos [;\lambda_1;] e [;\lambda_2;] tais raízes, ou seja,

[;\lambda_{1,2} = \frac{tr(A) \pm \sqrt{\Delta}}{2};]

Para achar o autovetor [;\vec{v}_1 = [x_1 \ y_1]^{T};] correspondente ao autovalor [;\lambda_1;], procedemos:

[;(A - \lambda_1I)\vec{v}_1 = \vec{0} \quad \Rightarrow;]


[;\begin{bmatrix}a_{11} - \lambda_1 \quad a_{12}\\a_{21} \quad a_{22} - \lambda_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} \quad \Rightarrow;]


[;\begin{cases}(a_{11} - \lambda_1)x_1 + a_{12}y_1 = 0\\a_{21}x_1 + (a_{22} - \lambda_1)y_1 = 0\end{cases};]
Supondo [;a_{12} \neq 0;], temos
[;a_{12}y_1 = (\lambda_1 - a_{11})x_1 \quad \Rightarrow \quad y_1 = \frac{(\lambda_1 - a_{11})x_1}{a_{12}};]

Assim,

[;\vec{v_1} = \begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\(\lambda_1 - a_{11})x_1/a_{12}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\v_{12}\end{bmatrix};]

sendo [;v_{12} = (\lambda_1 - a_{11})/a_{12};] e escolhendo [;x_1 = 1;]. Analogamente, [;\vec{v}_2 = [1 \ v_{22}]^{T};], onde [;v_{22} = (\lambda_2 - a_{11})/a_{12};]. Deste modo, os dois autovalores [;\vec{v}_1;] e [;\vec{v}_2;] são linearmente independentes e a matriz

[;P = [\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}] \qquad (8);]

é inversível. Em outras palavras, [;\det(P) \neq 0;] e [;P^{-1};] existe. Note que

[;\begin{cases}A\vec{v}_{1} = \lambda_1\vec{v}_{1}\\A\vec{v}_{2} = \lambda_2\vec{v}_{2}\end{cases};]

pode ser escrito na forma matricial:

[;A[\vec{v_1}, \vec{v_2}] = [\vec{v_1},\vec{v_2}]\begin{bmatrix}\lambda_1 \quad 0\\0 \quad \lambda_2\end{bmatrix} \qquad (9);]
pois,
[;[A\vec{v_1}, A\vec{v_2}] = [\lambda_1\vec{v_1} + 0, 0 + \lambda_2\vec{v_2}];]

Substituindo [;(8);] em [;(9);], temos:

[;AP = P\begin{bmatrix}\lambda_1 \quad 0\\0 \quad \lambda_1\end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad P^{-1}AP = \begin{bmatrix}\lambda_1 \quad 0\\0 \quad \lambda_2\end{bmatrix};]

Fazendo a mudança de variáveis [;\vec{x} = P\vec{u};] com [;\vec{u} = [u_1 \ u_2]^T;], segue que

[;\frac{d\vec{x}}{dt} = P\frac{d\vec{u}}{dt} \quad \Rightarrow \quad P\frac{d\vec{u}}{dt} = A\vec{x} = AP\vec{u} \quad \Rightarrow;]


[;\frac{d\vec{u}}{dt} = P^{-1}AP\vec{u} = \begin{bmatrix}\lambda_1 \quad 0\\0 \quad \lambda_2\end{bmatrix}\vec{u} \quad \Rightarrow;]


[;\begin{cases}\frac{d\vec{u_1}}{dt} = \lambda_1\vec{u_1}\\\frac{d\vec{u_2}}{dt} = \lambda_2\vec{u_2}\end{cases}\qquad (10);]

O sistema de equações diferenciais [;(10);] é um sistema desacoplado e possui soluções dadas por [;u_1(t) = C_1e^{\lambda_1t};] e [;u_2(t) = C_2e^{\lambda_2 t};]. Logo, a solução geral é:

[;\vec{x}(t) = P\vec{u}(t) = [\vec{v_1}, \vec{v_2}]\begin{bmatrix}u_1(t)\\u_2(t)\end{bmatrix}= u_1(t)\vec{v_1} + u_2(t)\vec{v_2};]


[;=C_1e^{\lambda_1 t}\vec{v_1} + C_2e^{\lambda_2 t}\vec{v_2};]

Exemplo 1: Ache a solução geral do sistema de equações diferenciais:

[;\begin{cases}\dot{x} = x + 2y\\\dot{y} = -x + 4y\end{cases};]

Resolução: Note que

[;A = \begin{bmatrix}1 \quad 2\\-1 \quad 4\end{bmatrix}, \quad tr(A) = 5 \quad \text{e} \quad \det(A) = 6;]
de modo que
[;P(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = 2 \quad \text{e} \quad \lambda_2 = 3;]

Para achar [;\vec{v_1} = [x_1 \ y_1]^T;], temos:

[;A\vec{v_1} = \lambda_1\vec{v_1} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}(1 - \lambda_1)x_1 + 2y_1 = 0\\-1x_1 + (4 - \lambda_1)y_1 = 0\end{cases} \quad \Rightarrow;]

[;\begin{cases}-x_1 + 2y_1 = 0\\-x_1 + 2y_1 = 0\end{cases} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 2y_1;]
de modo que

[;\vec{v_1} = [2 \ 1]^T;]
Para achar [;\vec{v_2} = [x_2 \ y_2]^T;], temos:

de modo que 
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