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Distância Entre Dois Pontos Sobre a Superfície Terrestre

Introdução: Irei apresentar neste Post, uma fórmula para calcular a distância entre dois pontos sobre a superfície terrestre. Para simplificar a fórmula que iremos obter, suponhamos que a Terra seja esférica e que conhecemos o raio terrestre e as coordenadas geográficas (latitude e longitude) de dois pontos sobre a superfície terrestre. Assim, é possível deduzir uma fórmula para distância mínima entre esses pontos. Antes de prosseguir, vejamos o conceito de coordenadas geográficas.

Coordenadas Geográficas: Todos os pontos da superfície terrestre são localizados pela cruzamento de duas coordenadas geográficas: latitude e longitude. As coordenadas são linhas imaginárias, separadas em intervalos regulares e medidas em graus. As longitudes, ou meridianos são as linhas paralelas ao meridiano de Greenwich.

Equador: A rotação da Terra estabelece um eixo imaginário, cuja intersecção com a superfície terrestre estabelece os dois polos. O meio do caminho entre os polos é a linha do Equador.


Latitudes ou Paralelos: São linhas paralelas ao Equador, medidas em graus, partindo do Equador de [;0^{o};] a [;90^{o};].


Longitudes ou Meridianos: São linhas imaginárias resultante da intersecção de um plano que passa pelos polos com a superfície terrestre. Os meridianos são medidos em graus, partindo de Greenwich (meridiano inicial) de [;0^{o};] até [;180^{0};] de oeste para leste.

Abaixo estão algumas coordenadas geográficas de algumas cidades:

1) Roma: [;(10^{o}06'42'' E,\ 41^{o}53'52'' N);];
2) Paris:
[;(0^{o}00'00'' , 48^{o}50'11'' N);];
3) São Paulo (SP):
[;(46^{o}38'10'' W,\ 23^{o}32'51'' S);];
4) Porto Alegre (RS):
[;(-51^{o}13'48'', -30^{o}01'59'');];
5) Lavras (MG):
[;(44^{o}59'59'' W,\ 21^{o}14'43'' S);]

Note que a latitude pode ser associada a um ângulo central [;(\alpha);] cujo vértice está no centro da Terra . Assim, a norte desse paralelo, o ângulo medido é positivo e ao sul é negativo. Analogamente, a longitude pode ser associada a um ângulo central [;(\theta);], de modo que a leste de Greenwich o ângulo [;\theta;] é positivo e a oeste é negativo.


Relação Entre Coordenadas Geográficas e Cartesianas:

Seja [;P(\theta,\alpha);] um ponto sobre a superfície terreste, onde [;\alpha;] e [;\theta;] são as coordenadas geográficas de [;P;]. Colocando um sistema de coordenadas cartesianas, de modo que a origem esteja no centro da Terra e o eixo [;x;] intercepta o meridiano de Greenwich (Fig. abaixo). Sendo [;OP = R;] e [;OM = OP\cos \alpha;], segue que

[;x = OM\cos \theta = R\cos \alpha \cos \theta;]
[;y = OM\sin \theta = R\cos \alpha \sin \theta;] [;(1);]
[;z = OP\sin \alpha;]

Cálculo da Distância entre os pontos [;P_0;] e [;P_1;]:

Sejam [;P_0(x_0,y_0,z_0);] e [;P_1(x_1,y_1,z_1);] as coordenadas cartesianas de dois pontos sobre a superfície terrestre. Existem infinitas linhas que ligam [;P_0;] e [;P_1;], e a que possui comprimento mínimo é chamada de geodésica. Pelo Cálculo das Variações, prova-se que a distância mínima entre [;P_0;] e [;P_1;] é igual ao comprimento de um arco de círculo que passa por esses pontos e pelo centro da Terra, ou seja, as geodésicas sobre as esferas são círculos máximos.
Sendo o setor [;P_0OP_1;] pertencente a um círculo máximo, a distância entre os pontos [;P_0;] e [;P_1;] é dada por
[;L = R\phi \quad \quad (2);]
onde [;\phi;] é o ângulo compreendido entre os vetores [;\vec{P}_0;] e [;\vec{P}_1;] medido em radianos e [;R;] é o raio terrestre, cujo valor aproximado é [;6370 \ km;]. Para determinar [;\phi;] em termos das coordenadas geográficas de [;P_0;] e [;P_1;] usaremos a Lei dos Cossenos no triângulo [;\bigtriangle P_0OP_1;], ou seja, [;\vec{P}_0\cdot \vec{P}_1 = \parallel\vec{P}_0\parallel\ \parallel\vec{P}_1\parallel\cos \phi = R^2\cos \phi;], pois [;\parallel \vec{P}_0\parallel = \parallel\vec{P}_1\parallel = R;], donde segue que
[;x_0x_1 + y_0y_1 + z_0z_1 = R^2\cos \phi;] [;(3);]
Substituindo [;(1);] em [;(3);], temos:

[;R^2\cos \phi = R^2(\cos \alpha_0\cos \theta_0\cos \alpha_1 \cos \theta_1 + \cos \alpha_0 \sin \theta_0\cos \alpha_1 \sin \theta_1 + \sin \alpha_0 \sin \alpha_1);]
ou seja,
[;\cos \phi = \cos \alpha_0 \cos \alpha_1 \cos(\theta_0 - \theta_1) + \sin \alpha_0 \sin \alpha_1;] [;(4);]
De [;(2);], temos o resultado desejado,

[;L = R\phi = R\arccos[\cos \alpha_0 \cos \alpha_1 \cos(\theta_0 - \theta_1) + \sin \alpha_0 \sin \alpha_1];]

Usando a fórmula acima, é fácil ver que a distância entre Paris e Roma é [;L = 1102 \ km;] e entre São Paulo e Porto Alegre é [;L = 853 \ km;].

Referências:
- Spiegel, Murray R. Análise Vetorial - Resumo da Teoria. Livro Técnico e Científico. Rio de Janeiro, 1966.
- Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2 - McGraw-Hill. São Paulo, 1987.

3 comentários:

  1. Muito bom esse site, realmente tem um monte de fatos interessantes para quem gosta de matemática!

    Mas é bom lembrar que essa equação é só uma aproximação, pois a Terra não é esférica. O modelo matemático utilizado para representá-la é o elipsoide de revolução e a equação da linha geodésica se torna muito mais complexa sobre essa superfície. Só para constar, a forma da Terra é estudado pela Geodésia.

    Gostaria de deixar claro que minha intenção é contribuir para o aperfeiçoamento do site.

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  2. Concordo plenamente com você, mas esta primeira aproximação considerando a Terra esférica é mais para fins didáticos e também para mostrar uma aplicação do produto escalar. Obrigado pelos elogios sobre o blog e volte sempre.

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  3. Usando a fórmula acima e os valores dados, as coordenadas geográficas e o raio da Terra, cheguei a esses resultados:
    distância entre Paris e Roma L = 1361 km
    entre São Paulo e Porto Alegre L = 696 km.

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