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quinta-feira

O Problema do Bode Faminto


Um gramado tem a forma de um círculo de raio [;R;]. Uma corda de comprimento [;l;] tem um dos extremos fixado na borda desse gramado e no outro extremo está amarrada num bode faminto. Qual deve ser o comprimento da corda de modo que o bode coma somente a metade da grama nesse jardim?


Resolução: Colocamos um sistema de coordenadas polares, cujo eixo polar passa pela estaca que adotaremos ser a origem do sistema de coordenadas, e pelo centro do jardim de raio [;R;] (Ver figura acima) .

Em coordenadas polares [;(\rho,\theta);] a equação da circunferência [;R;] tangente a origem é dada por [; \rho = 2R\cos \alpha;] para e a equação da circunferência de centro na origem e raio [;l;] é [;\rho = l;] . Sejam [;A;] e [;B;] o ponto de interseção dessas curvas e [;\alpha;] o ângulo que [;OA;]forma com o eixo polar.

Do Cálculo Integral, a área limitada pela curva [;\rho = f(\theta);] e pelos raios vetores [;\theta = \theta_1;] e [;\theta = \theta_2;] é dada por:

[;S = \frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\rho^2 d\theta;]
Das condições do problema, temos:

[;\frac{1}{2}\int_{0}^{\alpha} l^2 d\theta + \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\pi/2}(2R\cos \theta)^2d\theta = \frac{\pi} {4} R^2 \quad \Rightarrow \quad 8R^2 \int_{\alpha}^{\pi/2} \cos^2 \theta d \theta = \pi R^2 - 2 l^2\alpha;]

Usando o fato que [;2\cos^2 \theta = 1 + \cos (2\theta);] na integral acima, segue que

[;4R^2\biggl( \int_{\alpha}^{\pi/2}d\theta - \int_{\alpha}^{\pi/2}\cos(2\theta) d\theta \biggr) = \pi R^2 - 2l^2\alpha;]
ou seja,
[;\alpha \biggl(1 - \frac{l^2}{2R^2} \biggr) + \sin \alpha \cos \alpha = \frac{\pi}{4};]
Por outro lado, no ponto [;A;],

[;2R\cos \alpha = l \ \Rightarrow \ \cos \alpha = \frac{l}{2R} \ \Rightarrow \ \alpha = \arccos\biggl(\frac{l}{2R}\biggr);]
e
[;\sin \alpha \cos \alpha = \frac{l\sqrt{4R^2 - l^2}}{4R^2};]

Com esses dados obtemos a equação transcendente
,

[;\cos \biggl( \frac{\pi R^2 - l\sqrt{4R^2 - l^2}}{4R^2 - 2l^2}\biggr)  = \frac{l}{2R};]

Usando algum método numérico, tais como o método de Newton ou o método da secante, obtemos [; l = 1.15873 R;].

4 comentários:

  1. Olá, Paulo!
    Comentário pós "carnaval"!
    Olha, Vc e o Kleber estão de parabéns tbm pela realização desse evento! A propaganda é a alma do negócio, é um bordão bastante conhecido e repetido por aí, mas aqui tbm cabe bem. E tenho certeza que, nas próximas edições, haverá um número maior de participantes! Eu estou satisfeito e agradeço a vcs, essa oportunidade para a divulgação dos meus trabalhos e do meu blog!
    A sua postagem de grande utilidade e muito bem escrita (como sempre vc faz) é destaque, sem dúvidas, nessa edição do "carnaval". Parabéns e até breve!
    Um abraço!!!!!

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  2. Obrigado Francisco, temos que valorizar e divulgar os trabalhos de todos os blogs de Matemática. Além disso, essas ações vem comprovar que os matemáticos em geral são pessoas organizadas e com boas ideias para serem usadas na internet. Obrigado pelo destaque, mas os outros blogs estão publicando excelentes posts também. Abraços!

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  3. Olá, professor!
    Primeiramente, gostaria de te parabenizar pelo blog. A tua iniciativa é simplesmente fantástica.
    Como descobri o blog hoje, resolvi começar pela ordem das postagens. Entretanto, já no primeiro problema me deparei com minha primeira dúvida (como já me era esperado).
    Quanto ao problema do bode, de onde surge a integral que define aquela área e como foram definidos os limites dela?
    Obrigado!
    Abraço

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    1. Olá Robinson, que bom que gostou do blog. Obrigado pela sua leitura atenta. Escrevi este post no início do blog há mais de 3 anos e não percebi que tinha um erro de digitação, faltando uma integral definida. O problema foi corrigido e quanto a outra pergunta recomendo o post do colega Kleber neste link

      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2012/03/area-em-coordenadas-polares.html

      Os limites são obtidos analisando a figura dada. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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