Membros

sábado

Aplicações do Teorema de Rolle

Michel Rolle (1652-1719) teve pouca educação formal, tendo aprendido muito sozinho. Em 1675, mudou-se para Paris trabalhando como escrivão e matemático.

Rolle trabalhou em análise diofantina, Álgebra e Geometria. Ele publicou Traité d´Álgebre, sobre teoria de equações.

Hoje em dia, ele é lembrado principalmente por seu teorema que foi publicado numa obra de 1691, e demonstrado com o método de Hudde.

Se [;f;] é contínua em [;[a,b];], derivável em [;(a,b);] e [;f(a)=f(b);], então existe [;\xi \in (a,b);] tal que [;f^{\prime}(\xi) = 0;].

Um corolário interessante deste teorema é que entre dois zeros da derivada da função, existe no máximo um zero da função.

A demonstração do teorema encontra-se em bons livros de Cálculo, tais como o livro do Spivak. Outras constribuições dele para a Matemática foi a invenção da notação usada hoje para a raiz enésima de [;x\ ;].

Através deste teorema podemos resolver exercícios sobre a existência de soluções de raízes de equações algébricas e transcendentes estudadas no Cálculo Numérico. Vejamos dois exemplos:

1) Prove que [;x^2 = \cos x;]
tem apenas duas soluções reais.

De fato, sejam [;f(x) = x^2 - \cos x;] e [;r_1;] e [;r_2;] raízes de [;f(x) = 0;]. Note que [;f;] é contínua e derivável em [;\mathbb{R};]. Suponhamos que existe [;r_3;] entre [;r_1;] e [;r_2;] tal que

[;f(r_1)=f(r_2)=f(r_3)=0;]

Pelo teorema de Rolle, existem [;\xi_1;] e [;\xi_2;] tal que

[;f^{\prime}(\xi_1) = f^{\prime}(\xi_2) = 0;]

onde [;\xi_1 \in (r_1,r_2);] e [;\xi_2 \in (r_2,r_3);].

Sendo [;f^{\prime} = 2x + \sin x;], contínua e derivável em [;\mathbb{R};]
, em particular, [;f^{\prime};] é contínua e derivável em [;[\xi_1,\xi_2];] e [;(\xi_1,\xi_2);], respectivamente. Assim, pelo teorema de Rolle, existe [;\xi \in (\xi_1,\xi_2);] tal que [;f^{\prime \prime}(\xi) = 0;], donde segue que [;2 + \cos \xi = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos \xi = -2;]. Absurdo.

2) A equação [;e^x - 1 - x =0;] tem, evidentemente uma raiz [;x = 0;]. Demonstrar que esta equação não pode ter outra raiz real.

Seja [;f(x) = e^x - 1 - x;]e suponhamos que existe [;r \in \mathbb{R};] tal que [;f(r) = 0;]. No intervalo [;[0,r];], a função [;f;] satisfaz as condições do teorema de Rolle. Assim, existe [;\xi \in (0,r);] tal que [;f^{\prime}(\xi) = 0;], ou seja, [;e^{\xi} - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \xi = 0;]. Absurdo.

3) Generalize o problema anterior e mostre que a equação

[;e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2!} - \ldots - \frac{x^n}{n!} = 0;]

tem apenas o zero como raiz real, sendo [;n;]
um natural maior ou igual a [;1;].
Sugestão: Use indução finita.

Referências Bibliográficas:

1) http://www.netsaber.com.br/biografias/ver_biografia_c_4331.htm
l

2) Leithold, Louis. Cálculo com Geometria Analítica V.1 3 ed..Harbra, São Paulo, 1994.

Nenhum comentário:

Postar um comentário