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A área do Segmento Esférico (Arquimedes)

Se cortamos uma superfície esférica de raio [;R;] por dois planos paralelos de alturas [;a;] e [;b;] em relação a um plano também paralelo que passa pelo centro dessa esfera, teremos um setor esférico.

Um fato notável devido a Arquimedes (287 a.C - ) é que a área desse setor é igual a área lateral em um cilindro de raio [;R;] limitada por esses mesmos planos paralelos, (figura ao lado), ou seja:


[;S_1 = S_2 = 2\pi Rh = 2\pi R(b - a);]

Não tenho idéia da forma em que o matemático grego provou essa curiosa relação, mas usando o Cálculo, podemos facilmente demonstrar esse resultado.

De fato, passando um eixo [;x\ ;] perpendicular aos planos paralelos e passando pelo centro da esfera, segue que a equação da semi-circunferência é [;y = \sqrt{R^2 - x^2};]. A área desse setor esférico é


[;S_1 = 2\pi \int_{a}^{b}y\sqrt{1 + (y^{\prime})^2}dx \quad (1);]

Sendo [;y^{\prime}(x) = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}};], segue que

[;\sqrt{1 + (y^{\prime})^2} = \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \frac{R}{y} \quad (2);]

Substituindo [;(2);] em [;(1);] e integrando de [;a;] a [;b;], temos o resultado desejado. Note que se [;b - a = 2R;] temos a área da superfície esférica.

Fonte: Wolfram MathWorld - Archimedes Hat-Box Theorem.

4 comentários:

  1. Paulo, fiquei com uma dúvida neste problema: O raio [;a;] da esfera é igual ao raio [;R;] do cilindro?
    Se sim, considerando a altura [;h;] comum aos dois sólidos,o setor esférico não deveria ter uma área menor do que o setor cilíndrico, já que a base superior da esfea (raio [;b;]) é menor que a base superior do cilinro (raio [;R;]) ?

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  2. Não a área é a mesma, pois o que se perde em raio, ganha-se na parte curva da esfera, de modo que as áreas fiquem iguais.

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  3. Humm, havia pensado em algo do tipo, mas não tinha certeza. Obrigado por esclarecer!

    Realmente Arquimedes sabia das coisas!

    Um abraço!

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  4. queria saber se vocês podem me indicar algum livro que trate de assuntos como volume e áreas de sólidos e figuras planas

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