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terça-feira, 7 de julho de 2009

Duas Médias (Parte 1)

1) Introdução:

Neste post irei falar um pouco sobre duas médias muito importantes na Matemática: a média aritmética ([;MA;]) e a média geométrica ([;MG;]). Para defini-las, sejam [;a;] e [;b;] reais positivos. Assim,

[;MA = \frac{a+b}{2};] e [;MG = \sqrt{ab};]

Geometricamente, podemos visualizá-las na semi-circunferência abaixo, apesar que elas surgem em outras figuras planas, tais como no trapézio ([;S = hMA;]), onde [;MA;] é a média aritmética das bases e a média geométrica aparece no cálculo da altura relativa a hipotenusa ([;h = \sqrt{mn};]), onde [;m;] e [;n;] são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa como veremo abaixo.

Sendo [;2R = a + b;], segue que [;R = MA;]. Para mostrar que [;CD = MG;], note que o [;\triangle ACD;] é retângulo em [;C;], pois está inscrito numa semi-circunferência. Além disso,
[;\triangle ACD \sim \triangle BCD;], pois [;A\widehat{D}C = B\widehat{D}C = 90^{\circ};] e , de modo que



2) A Desigualdade Aritmética-Geométrica:

Na figura acima, nota-se que [;MG \leq MA;] e a prova desta propriedade baseia simplesmente no fato que o quadrado de qualquer número real é não-negativo, ou seja, [;x^2 \geq 0, \quad \forall x \in \mathbb{R};]. De fato, sendo [;\sqrt{a} - \sqrt{b};] um número real, então

[;(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b \geq 0 \quad \Rightarrow \quad MG \leq MA;]

3) Demonstração Geométrica:

4) Aplicações:

1) Entre todos os retângulos de área [;S = 9;], o perímetro [;P;] é maior ou igual a [;12;].

De fato, sejam [;a;] e [;b;] os lados desse retângulo. Assim, [;ab = 9;], donde segue que

[;P = 2(a+b) = 4\cdot\frac{a+b}{2} \geq 4\sqrt{ab} = 4\sqrt{9} = 12;]

2) Determine o valor mínimo da função [;f(x) = x + \frac{1}{x};], para [;x\ ;]maior que zero. Aplicando a desigualdade aritmética-geométrica, temos

[;f(x) = x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot x} = 2;]

para todo [;x\ ;] maior que zero e para determinar a abscissa correspondente a esse valor mínimo, basta resolver a equação [;x + 1/x = 2;] para obter [;x = 1;].

Gostará de ler também:
- Duas Médias (Parte 2).
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 7.7.09
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5 comentários:

  1. Neste blog tem altas coisas que já sei mas que nunca tinha visto dessa maneira. Muito legal esta visão geométrica da desigualdade.

    Só tem uns erros de digitação do tipo [; MG \leq MG ;] e que [; x \geq 0 ;] ao invés de [; x^2 \geq 0;], mas são apenas detalhes =)

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  2. Valeu Henrique pelas observações, os problemas já foram corrigidos.

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  3. Professor qual é a explicação para se chegar nesse desenho geometrico....??

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  4. Meu nobre professor, como eu chego nesse desenho geometrico? existe um quadrado grande, um pequeno e 4 retangulos...como o senhor pode me explicar melhor essa relação...

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  5. Acho que agora compreendi a sua pergunta. Construa 4 retângulos de lados a e b (por exemplo, a = 6cm e b = 10 cm) em cartolina. Junte os retângulos conforme a figura acima. Esta figura, formará um quadrado de lado 16 cm com um quadrado (buraco) no centro de lado 10 - 6 = 4 cm. Portanto, a soma das áreas do retângulos, (4x6x10 = 240 cm^2) é menor que a área do quadrado de lado 16 cm, que é igual a 256 cm^2. Em termos gerais, temos 4ab <= (a + b)^2, donde segue a desigualdade aritmética-geométrica.
    Espero ter respondido a sua pergunta.

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