A História das Equações Algébricas (Parte 2)

Vimos na Parte 1, a solução das equações lineares através do método da falsa posição. Vejamos agora um pouco da história e a forma de resolução das equações quadráticas.

Em Smith, History of Mathematics (1925), vemos que a primeira equação quadrática aparece no Berlin Papyrus do Egito Antigo por volta de 2000 a. C. Em notação moderna, o problema pede para achar e tais que

e

e a solução é dada aplicando o método da falsa posição. Assim, podemos supor que muitos outros problemas quadráticos podem ser encontrados nas tabletas babilônicas.

Muitos problemas nessas tabletas pedem o valor de e , sendo dadas as condições: e . Geometricamente, tais problemas estão relacionados com o perímetro e a área de retângulos. Vejamos o algoritmo usado para resolver tais problemas:

1) Eleve ao quadrado a metade de , ou seja, ;
2) Subtraia deste valor, ou seja, ;
3) Extraia a raiz quadrada deste valor para obter ;
4) Adicionando e subtraindo este valor metade obtemos e , respectivamente, isto é

e

fica como exercício, verificar que de fato, e dados acima são soluções do sistema acima e para isso, basta resolver a equação quadrática .

Soluções Gregas: Os gregos resolviam equações quadráticas da forma , sendo números positivos, através de construções geométricas com régua e compasso. Modernamente, podemos visualizar as duas raízes positivas como sendo a abscissa dos pontos de interseção das curvas e .

Soluções Hindus: Brahmagupta (628 d.C.) apresenta a equação e sua solução, mostrando que algoritmo para resolver equações quadráticas existem desde daquela época.

Sridhara em 1025, fornece a regra Hindu para equações quadráticas que foi popularizada por Bháskara no ano de 1050 e dizia o seguinte:

"Multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coe ciente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coe ciente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso".

Na notação algébrica atual, temos:

Assim,

Soluções Árabes: Al Khwarizmi foi um grande matemático árabe que por volta de 780-850, escreveu um livro de Álgebra cujo título era Al-kitāb al-muhtaşar fī hisāb al-jabr wa-l-muqābala, ou seja, "Um breve livro sobre os cálculos de al-Jabr and al-Muqabala".

The term al-jabr pode ser traduzido como a transposição de termos de um lado ao outro da equação e al-muqabala significa em subtrair quantidades iguais de ambos os lados da equação. Portanto,

é al-jabr, enquanto

é al-muqabala.

Além disso, ele classificou as equações em tipos dados por:

A razão para essas seis classificações é devido ao fato que os matemáticos árabes desconheciam os trabalhos dos matemáticos hindus que não tratou dos números negativos. Em seus trabalhos, coeficientes e raízes das equações eram positivos.

A fórmula resolvente da equação quadrática é conhecida atualmente por "fórmula de Bháskara", pois foi ele quem preencheu algumas lacunas na obra de Brahmagupta dando uma solução ao problema da divisão por zero.

Referência Bibliográfica:

-Eves, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 1995.