O Elegante Teorema de Pappus

Pappus de Alexandria (séc IV d.C.) foi um grande matemático grego sucessor de Euclides, Arquimedes (gênio matemático) e Apolônio, sua principal obra é a Coleção Matemática, uma mistura de guia da geometria da época, acompanhada de comentários, com numerosas proposições originais, aprimoramentos, extensões e notas históricas. No livro , aparece uma antecipação do teorema do centróide de P. Guldin e é com esse teorema que iremos calcular o volume do donut´s do Homer Simpson.

Teorema: Girando-se uma região plana em torno de um eixo de seu plano, eixo esse que não corta a região, o volume do sólido de revolução assim formado é igual ao produto da área da região pelo comprimento da trajetória descrita pelo centróide da região (Fig. abaixo), ou seja,

Demonstração: A seção transversal do sólido de revolução é a região limitada pelas funções e no intervalo . Usando o método dos discos, o volume deste sólido o volume desse sólido é

Por outro lado, o centróide da região é dado por

Dessas duas expressões segue o resultado.

Exemplo: Usando o teorema de Pappus, achar o centróide de um semicírculo de raio .

Resolução: A área do semicírculo é igual a e o volume do sólido gerado pela rotação de um semi-círculo de raio é o volume de uma esfera de raio , isto é, . Usando a fórmula acima, segue que .

O volume da rosquinha de Homer que aliás é um toro ou câmara de ar fica fácil com a fórmula deduzida acima. Supondo que a seção transversal é um círculo e que é o raio interno e é o raio externo da rosquinha, então seu volume é dado por