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sábado, 11 de julho de 2009

O LTF e o Cálculo de Áreas (Parte 1)

Um dos principais limites fundamentais do Cálculo é o Limite Trigonométrico Fundamental (LTF) que é dado por:

[;\lim_{\theta \to 0} \frac{sin \theta}{\theta} = 1 \quad \quad (1);]

Este limite surge no Cálculo quando estudamos a derivada das funções trigonométricas. Historicamente, Galileu Galilei (1564-1642) deduziu erroneamente que este limite seria nulo, mas uma análise no ciclo trigonométrico abaixo mostra que

[;\sin \theta \leq \theta \leq \tan \theta;]

Dividindo por [;\sin \theta;], aplicando o limite nas desigualdades e usando o teorema do sanduiche, obtemos [;(1);]. Com este resultado, podemos calcular facilmente a derivada das funções [;\sin x;] e [;\cos x;],mas isto pode ser visto em qualquer livro de Cálculo.

Como as funções trigonométricas estão intimimamente relacionadas com a circunferência, vem a pergunta:

Será que o LTF está relacionado diretamente com o círculo?

A resposta é positiva, pois é através do LTF que provamos diretamente que área do círculo é dada por [;S = \pi r^2;]. De fato, considere a figura abaixo:

Designaremos por [;s(n);] e [;S(n);] as áreas dos polígonos inscritos e circunscritos e por [;S;]. Do triângulo [;ONB;] , [;ON = r\cos \theta;] e [;BN = r\sin \theta;] de modo que a área do triângulo é
[;\frac{ON\times BN}{2} = \frac{r^2}{2}\sin \theta \cos \theta \quad \Rightarrow \quad s(n) = nr^2 \sin \theta \cos \theta;]

Por outro lado, sendo , se[;\triangle OAB \sim \triangle OA^{\prime}B^{\prime};], segue que

[;\frac{S(n)}{s(n)} = \biggl( \frac{OM}{ON}\biggr)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta} \quad \Rightarrow \quad S(n) = nr^2 \ \frac{\sin \theta}{\cos \theta};]

Sendo [;s(n) \leq S \leq S(n);] e usando o fato que [;\theta = \frac{\pi}{n};], temos:

[;\pi r^2 \cos \theta \ \frac{\sin \theta}{\theta} \prec S \prec \pi r^2 \frac{1}{\cos \theta}\frac{\sin \theta}{\theta};]

Quando aumentamos indefinidamente o número de lados dos polígonos inscritos e circunscritos, isto é, quando [;n;] tende a infinito, o ângulo [;\theta;] tende a zero e através do LTF segue que

[;\pi r^2 \leq S \leq \pi r^2;]
donde segue o resultado.

No próximo post, irei aplicar o LTF para calcular a área sob um arco de senóide.

Observação: O símbolo [; \prec;] está sendo usado no lugar de "menor que", devido a problemas no editor.


Bibliografia: Piskounov N. - Cálculo Diferencial e Integral V. 1. Lopes da Silva Editora, [;6^{\underline{a}};] ed. 1978.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 11.7.09
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6 comentários:

  1. Olá professor, poderia me explicar porque s(n) = nr²cosx.senx, eu percebi que o polígono em roxo é um octogono regular e sua área é 8.r²cosx.senx, mas queria saber como ter certeza que a fórmula é válida pra qualquer polígono regular.Grato se puder explicar.
    Excelente blog!

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  2. A área do triangulo isosceles [;OAB = 2\times\frac{r^2}{2}\sin \theta \cos \theta;]. Como o polígono interno possui [;n;] triângulos iguais a esses, então [;s(n) = nr^2 \sin \theta \cos \theta;]. O mesmo raciocínio aplica-se para [;S(n);].

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  3. Hum, entendi.Só mais uma coisa professor, θ não seria π/2n ? π/n não seria o ângulo AÔB ? Obrigado

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  4. Não, realmente [;\theta = \pi/n;] pois [;2\theta = 360^{\circ}/2n = 2\pi/2n = \pi/n;]

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  5. Se for usar este post em algum lugar, agradeceria se citar a fonte e seja um seguidor caso ainda não seja, pois o seu perfil está inativo.

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  6. Muito grato pela paciência professor, pode deixar que se algum dia eu for falar para alguém ou usar em algum lugar eu vo citar o seu blog.Obrigado.

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