Outro Modo de Deduzir a Fórmula de Bháskara

A fórmula muito utilizada para resolver equações quadráticas conhecida no Brasil por fórmula de Bháskara, é deduzida completando quadrados. Um modo alternativo de provar essa fórmula, vem da seguinte observação: se na equação [;ax^2 + bx + c =0;] em que [;a \neq 0;], tivéssemos [;b =0;], a equação seria incompleta e muito fácil de ser resolvida. Com esta idéia em mente, introduzimos uma nova variável [;y = x + m;] na equação dada e escolhemos [;m;] de modo que o termo linear seja nulo na equação quadrática na variável [;y;], ou seja:

[;a(y - m)^2 + b(y - m) + c = 0 \quad \Rightarrow;]
 [;\quad ay^2 + (b - 2am)y + am^2 - bm + c =0;]

Escolhemos [;m = \frac{b}{2a};], de modo que

[;ay^2 + a\biggl(\frac{b}{2a}\biggr)^2 -\frac{b^2}{2a} + c = 0 \quad \Rightarrow;]
 [;\quad ay^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a};]

Logo,

[;y = \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a};]

onde [;\Delta = b^2 - 4ac;] é o famoso discriminante da equação.