No primeiro post, vimos a técnica de substituição direta e integração dupla para calcular integrais impróprias. Note que
ou seja,
![[;\frac{1}{s^{n+1}} = \frac{1}{n!}\int_{0}^{\infty} e^{-st}t^n dt;]](http://thewe.net/tex/%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%5E%7Bn+1%7D%7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20e%5E%7B-st%7Dt%5En%20dt "\frac{1}{s^{n+1}} = \frac{1}{n!}\int_{0}^{\infty} e^{-st}t^n dt")
Assim, para calcular integrais do tipo
![[;\int_{0}^{\infty}\frac{f(t)}{t^n}dt;]](http://thewe.net/tex/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bf%28t%29%7D%7Bt%5En%7Ddt "\int_{0}^{\infty}\frac{f(t)}{t^n}dt")
procedemos do seguinte modo:
![[;\frac{1}{s^n} = \frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{n-1}dt;]](http://thewe.net/tex/%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%5En%7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%28n-1%29%21%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B-st%7Dt%5E%7Bn-1%7Ddt "\frac{1}{s^n} = \frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{n-1}dt")
Integrando essa expressão de ![[;0;]](http://thewe.net/tex/0 "0")
a ![[;\infty;]](http://thewe.net/tex/%5Cinfty "\infty")
, temos:
![[;\int_{0}^{\infty}\frac{f(s)}{s^n}ds = \frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{\infty}f(s)\biggl(\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{n-1}dt \biggr)ds;]](http://thewe.net/tex/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bf%28s%29%7D%7Bs%5En%7Dds%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%28n-1%29%21%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df%28s%29%5Cbiggl%28%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B-st%7Dt%5E%7Bn-1%7Ddt%20%5Cbiggr%29ds "\int_{0}^{\infty}\frac{f(s)}{s^n}ds = \frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{\infty}f(s)\biggl(\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{n-1}dt \biggr)ds")
![[;= \frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{\infty}t^{n-1}F(t)dt;]](http://thewe.net/tex/=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%28n-1%29%21%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dt%5E%7Bn-1%7DF%28t%29dt "= \frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{\infty}t^{n-1}F(t)dt")
![[;\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^2 t}{t^2}dt = \int_{0}^{\infty} s\mathcal{L}\{\sin^2 t\}ds = \int_{0}^{\infty}s\mathcal{L}\biggl \{\frac{1 - \cos(2t)}{2} \biggr\}ds;]](http://thewe.net/tex/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Csin%5E2%20t%7D%7Bt%5E2%7Ddt%20=%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20s%5Cmathcal%7BL%7D%5C%7B%5Csin%5E2%20t%5C%7Dds%20=%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Ds%5Cmathcal%7BL%7D%5Cbiggl%20%5C%7B%5Cfrac%7B1%20-%20%5Ccos%282t%29%7D%7B2%7D%20%5Cbiggr%5C%7Dds "\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^2 t}{t^2}dt = \int_{0}^{\infty} s\mathcal{L}\{\sin^2 t\}ds = \int_{0}^{\infty}s\mathcal{L}\biggl \{\frac{1 - \cos(2t)}{2} \biggr\}ds")
Assim, obtemos uma fórmula muito útil para calcular integrais impróprias, dada por
![[;\int_{0}^{\infty} \frac{f(t)}{t^n}dt = \frac{1}{(n-1)!} \int_{0}^{\infty}s^{n-1}F(s)ds \quad \quad (1);]](http://thewe.net/tex/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bf%28t%29%7D%7Bt%5En%7Ddt%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%28n-1%29%21%7D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Ds%5E%7Bn-1%7DF%28s%29ds%20%5Cquad%20%5Cquad%20%281%29 "\int_{0}^{\infty} \frac{f(t)}{t^n}dt = \frac{1}{(n-1)!} \int_{0}^{\infty}s^{n-1}F(s)ds \quad \quad (1)")
onde ![[;F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\};]](http://thewe.net/tex/F%28s%29%20=%20%5Cmathcal%7BL%7D%5C%7Bf%28t%29%5C%7D "F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}")
.
Exemplo: Calcule a integral imprópria abaixo:
![[;\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^2 t}{t^2}dt;]](http://thewe.net/tex/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Csin%5E2%20t%7D%7Bt%5E2%7Ddt "\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^2 t}{t^2}dt")
Exemplo: Calcule a integral imprópria abaixo:
pela fórmula ![[;(1);]](http://thewe.net/tex/%281%29 "(1)")
acima. Calculando a transformada de Laplace acima, temos:
![[;\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}t}{t^2}dt = \int_{0}^{\infty}s\biggl(\frac{1}{s} - \frac{s}{s^2 + 4} \biggr)ds = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\biggl(1 - \frac{s^2}{s^2 + 4} \biggr)ds;]](http://thewe.net/tex/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Csin%5E%7B2%7Dt%7D%7Bt%5E2%7Ddt%20=%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Ds%5Cbiggl%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%20-%20%5Cfrac%7Bs%7D%7Bs%5E2%20+%204%7D%20%5Cbiggr%29ds%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbiggl%281%20-%20%5Cfrac%7Bs%5E2%7D%7Bs%5E2%20+%204%7D%20%5Cbiggr%29ds "\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}t}{t^2}dt = \int_{0}^{\infty}s\biggl(\frac{1}{s} - \frac{s}{s^2 + 4} \biggr)ds = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\biggl(1 - \frac{s^2}{s^2 + 4} \biggr)ds")
![[;= \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{4}{s^2 + 4}ds = \frac{\pi}{2};]](http://thewe.net/tex/=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B4%7D%7Bs%5E2%20+%204%7Dds%20=%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D "= \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{4}{s^2 + 4}ds = \frac{\pi}{2}")
Podia ensinar isso no curso de Equações Diferenciais
ResponderExcluirProfessor, muito interessantes esses posts de laplace aplicado à resolução de integrais, nunca tinha visto.
ResponderExcluirAcredito que haja um erro no exemplo. Na terceira linha do exemplo, falta um s multiplicado L{(1-cos2t)/2} dentro da integral de 0 a inf, quando vc escreve sen^2(t)=(1-cos2t)/2.
É verdade, já atualizei o post. A parte 1 também envolve outras integrais envolvendo a transformada de Laplace.
ResponderExcluirDesculpem-me se eu estiveer sendo muito ignorante, mas não seria mais prátio e simples para se entender, resolver por substituição trignométrica?
ResponderExcluirAbraços!
A integral do último exemplo foi de fato resolvida por substituição trigonométrica. Mas o método apresentado é mais geral de modo a tratar de integrais que não são resolvidas por substituição trigonométrica. Obrigado pelo comentário e volte sempre!
ResponderExcluirVemos integrais improprias em que matéria? Faço engenharia civil
ResponderExcluirOlá Luan. O assunto integrais impróprias é visto no final do Cálculo 1, se ele incluir integrais ou no Cálculo 2, se apenas derivadas é visto no Cálculo 1.
ExcluirHá tempos percebo que este assunto é evitado por vários professores, pois é um assunto final do Cálculo de uma Variável. Este engano compromete o desenvolvimento posterior do curso, pois em muitas aplicações tais como Eletricidade e outros assuntos.