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sábado, 4 de julho de 2009

Uma Prova que e é Irracional

O número [; e \simeq 2,71828182845 \ldots ;] ou constante de Euler, juntamente com o [;\pi;] e o [;\phi;] é uma das constantes mais importantes da Matemática Pura e Aplicada, aparece em problemas relacionados a vibrações mecânicas, probabilidade, crescimento populacional, problemas financeiros, etc... Além disso, todos nós sabemos que a derivada da função [;f(x) = e^x;] é ela mesma. Assim, expandindo essa função em série de Taylor em torno de [;x = 0;], temos a série

[;e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots \quad (1);]

que converge para todo [;x \in \mathcal{R};]. Relembrando que um número é racional se ele é escrito na forma [;p/q;] sendo [;p;] e [;q;] números inteiros com [;q \neq 0;]. Se um número não pode ser escrito nesta forma, dizemos que ele é irracional. Para provar que [;e;] é irracional, usamos a série infinita

[;e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} +\ldots;]

obtida de [;(1);] fazendo [;x = 1;]. A seguir, assumimos que , sendo [;p;] e [;q;] inteiros positivos. Multiplicamos a série acima por [;q!;] para obter

[;q!e = q! + \frac{q!}{1!} + \frac{q!}{2!} + \frac{q!}{3!} + \frac{q!}{4!}+\ldots+\frac{q!}{q!} + R;]


Desde que [;e = \frac{p}{q};], segue que [;q!\frac{p}{q};] e a soma



[; q! + \frac{q!}{1!} + \frac{q!}{2!} + \frac{q!}{3!} + \frac{q!}{4!} + \ldots + \frac{q!}{q};]


são números inteiros. Sendo [;R;] a diferença de dois números inteiros, [;R;] é um número inteiro que é dado por

[;R = q!\biggl(\frac{1}{(q+1)!} + \frac{1}{(q+2)!} + \frac{1}{(q+3)!} + \ldots \biggr);]
ou

[;R = \frac{1}{(q+1)} + \frac{1}{(q+1)(q+2)} + \frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}+ \ldots;]
ou seja,

[;R;] é menor que [;\frac{1}{(q+1)} + \frac{1}{(q+1)^2} + \frac{1}{(q+1)^3}+\ldots = \frac{1}{q};]


o que é um absurdo, pois [;q;] é um inteiro positivo.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 4.7.09
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4 comentários:

  1. Nossa cara, sinceramente eu nem li!
    Sou horroroso em Matemática, não conseguiria entender nada. Você pisou na ferida agora! rs

    De qualquer forma, teu blog é bacana.

    Abraços, Vini.

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  2. Excelente demonstração! Não tinha visto deste modo.

    Tem um pequeno erro de digitação porém: acredito que onde aparece [;\frac{q!}{q};], deveria ser [;\frac{q!}{q!};].

    Parabéns pelo blog. Já está em meus favoritos.

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  3. Muito obrigado pelos elogios e pela observação. Já fiz as correções indicadas.

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  4. Muito boa demonstação, está muito facil de compreender.
    Tive um pouco de trabalho para deduzir a somatória que vc usou para comparar com R (aquela que converge para 1/q).
    Mas só pensar em x = 1/(q+1), assim vira somatória de x^n, ai ficou facil.
    Parabéns.

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