Membros

quinta-feira, 9 de julho de 2009

Uma Sequência de Quadrados Perfeitos

Dizemos que um número [;N \in \mathbb{N};] é quadrado perfeito se existe [;n \in \mathbb{N};] tal que [;n^2 = N;]. Sabemos que [;1,4,9,16,25,36,\ldots;] é uma sequência de quadrados perfeitos. Vejamos agora a seguinte sequencia:

[;25,1225,112225,11122225,\ldots;]

em que o termo geral é dado por

[;N(k) = \overbrace{111\ldots 11}^{(k-1)}\overbrace{22\ldots 222}^{k}5;]

ou seja, [;N;] é formado por [;(k-1);] e [;k;] [;2^{\prime}s;] de modo que [;N;] possui [;2k;] dígitos para [;k \geq 1;]. Provaremos que [;N;] é um quadrado perfeito:

De fato, observe que [;112225 = 112200 + 25 = 110000 + 2200 + 25 = 11\times 10^{4} + 22\times 10^{2} + 25;] e no caso geral, temos
[;N(k) = \overbrace{111\ldots 11}^{(k-1)}\times 10^{k+1} + \overbrace{22\ldots 22}^{(k-1)}\times 10^{2} + 25 \quad \quad (1);]
Mas,
[;\overbrace{111\ldots 11}^{(k-1)} = \frac{10^{k-1} - 1}{10 - 1} = \frac{10^{k-1} - 1}{9} \quad \quad (2);]
Substituindo [;(2);] em [;(1);], segue que

[;N(k) = \frac{10^{k-1} - 1}{9}\times 10^{k+1} + 2\times \biggl(\frac{10^{k-1} - 1}{9} \biggr)\times 10^{2} + \frac{10^{2}}{4};]
Colocando o fator [;\frac{10^{2}}{4};] em evidência e somando e subtraindo o termo [;\frac{4(10^{k-1} - 1)}{9};], podemos [;N(k);] na forma:

[;N(k) = \frac{10^{2}}{4}\biggl[\frac{4(10^{k-1}-1)^2}{9} + \frac{4(10^{k-1} - 1)}{3} + 1 \biggr] = 25\biggl[\frac{2}{3}(10^{k-1} - 1) + 1\biggr]^2;]

como queríamos demonstrar.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 9.7.09
Marcadores: ,
Reações: 

2 comentários:

  1. socorroooooooooo, sou burrinha em matematica

    ResponderExcluir

  2. o_O meu Deus do Céu! esses números são intimidadores!

    minha mãe também é professora de matemática e ele iria AMAR seu blog!

    já vi que vou passar mais algumas vezes por aqui antes das minhas provas... =D

    parabéns pelo blog!

    meu blog: http://juliagravina.blogspot.com

    ResponderExcluir

Assinar: Postar comentários (Atom)