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quarta-feira, 15 de julho de 2009

Velocidade de Escape

Suponha que um foguete seja disparado para cima com velocidade inicial [;v_0;] e depois se mova sem posterior gasto de energia. Para valores grandes de [;v_0;], ele sobe bastante antes de chegar ao repouso e cair de volta à Terra. Qual deve ser [;v_0;] para que o foguete jamais chegue ao repouso e por causa disso escape da atração gravitacional da Terra?

De acordo com a Lei de Gravitação de Newton, duas partículas quaisquer de matéria no universo se atraem com uma força que é proporcional a suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Considerando que toda massa da Terra está concentrada em seu centro, podemos tratá-la como se fosse uma partícula (Figura abaixo), temos:

[;F = -G\frac{Mm}{s^2};]

onde [;G;] é a constante universal de gravitação, [;M;] e [;m;] são asmassas da Terra e do foguete respectivamente e [;s;] é a distância do foguete ao centro da Terra. Aplicando a Segunda Lei de Newton, temos:

[;m\frac{d^2s}{dt^2}=-G\frac{Mm}{s^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2s}{dt^2}=-G\frac{M}{s^2}\quad \quad (1);]

Esta equação nos diz que o movimento do foguete não depende de sua massa. Note que
[;\frac{d^2s}{dt^2}=\frac{d}{dt}\biggl(\frac{ds}{dt}\biggr)=\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}=v\frac{dv}{ds} \quad \quad (2);]

Substituindo (1) em (2), segue que

[;v\frac{dv}{ds}=-\frac{GM}{s^2};]

Na superfície da Terra, para [;s=R;], a força gravitacional agindo sobre o foguete é igual ao seu próprio peso, ou seja,

[;\frac{GMm}{R^2} = mg \quad \Rightarrow \quad GM = gR^2;]

Substituindo em [;(2);], temos:

[;vdv = -gR^2\frac{ds}{s^2} \quad \Rightarrow \quad \int_{v_0}^{v}vdv = -gR^2\int_{R}^{s}\frac{ds}{s^2} \quad \Rightarrow;]

[;\frac{v^2}{2}=\frac{gR^2}{s}+\biggl(\frac{v_0^2}{2}-gR \biggr) \quad (3);]

Nossa conclusão final emerge de [;(3);] como se segue: para o foguete escapar da Terra, ele deve mover-se de tal modo que [;v^2/2;] seja sempre positivo, pois, se [;v^2/2;] se anula, o foguete pára e então cai de volta à Terra. Mas o primeiro termo à direita de [;(3);] evidentemente tende para zero quando [;s;] cresce. Portanto, para garantir que [;v^2/2;] seja positivo, não importa quão grande seja [;s;], devemos ter

[;v_0^2/2 - gR \geq 0 \quad \Rightarrow \quad v_0 \geq \sqrt{2gr};]

A quantidade [;v_e:= \sqrt{2gR};] é usualmente conhecida como a velocidade de escape da Terra. Sendo [;R=6,37 \times 10^6 \ m;] e [;g=9,81 \ m/s^2;], segue que
[;v_e = 11,3 \ km/s;]

Referência Bibliográfica: Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica. V.2. Ed. Mc Graw-Hill do Brasil. São Paulo, 1987.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 15.7.09
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12 comentários:

  1. Muito bom!;D em sala de aula nós abordamos esse assunto com energia.
    Emec inicial=Ecinética+Epotencial gravitacional=Ec+Eg=mv²/2 - GmM/R= zero(Eg no infinito)+ zero(para a v mínima Ec será 0)
    daí temos:
    mv²=2GMm/r,ou seja v=sqrt(2GM/r),mas na superfície da terra GM/r²=g,logo GM/r=gr
    então v de escape é v=sqrt(2gr).
    Essa explicação seria muito acochambrada(se é que vc me entende?Pouco rigorosa).No ensino médio é só como agente tem condição de aprender =p!Abraços!

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  2. Aí em cima é uma pergunta ;P"Essa explicação seria muito acochambrada?....)

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  3. Não é acochambrada, é apenas outro modo de deduzir a formula para o calculo da velocidade de escape.

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  4. Oi, Paulo.

    Estou com uma dúvida nesta passagem:

    "Portanto, para garantir que [;v^2/2;] seja positivo, não importa quão grande seja [;s;], devemos ter

    [;v_0^2/2 - gR \geq 0 \quad \Rightarrow \quad v_0 \geq \sqrt{2gr};]"

    Não seria certo dizer que para garantir que [;v^2/2;] seja positivo, devemos ter [;v_0^2/2 - gR > 0;] e não [;v_0^2/2 - gR \geq 0;]? ( matematicamente falando, mas entendi o contexto ).

    Afinal de contas, a velocidade de escape livra ou não livra o corpo da gravidade terrestre? Para escapar tem que ser igual ou superior à [;\sqrt{2gr};]??

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    1. É verdade, para ser rigorosamente preciso devemos ter apenas o sinal de maior, mas o autor pode alegar que não está errado escrever [;\geq;], pois basta que uma das sentenças seja verdadeira para que a afirmação seja verdadeira.

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  5. Na minha opinião ( posso estar errado )acho que Simmons exagerou na informalidade e cometeu um pequeno deslize conceitual. Rigorosamente falando, um corpo nunca escapa da gravidade terrestre, por menor que ela seja. O cálculo da velocidade de escape é feito metodicamente na suposição [;s \rightarrow \infty;], portanto acredito que, hipoteticamente, a velocidade de escape realmente zere a velocidade do corpo de forma que ele não mais retorne para a Terra.

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    1. Concordo com você. Observe que eu publiquei este post antes do post O Tempo de Impacto de um Meteoro e hoje lendo com mais calma os dois posts, notei que este é uma pequena variação dos limites de integração desta equação

      [;v\frac{dv}{dx} = -\frac{R^2g}{x^2} \quad \Rightarrow \quad \int_{0}^{v}vdv = -R^2g\int_{R_0}^{x}\frac{dx}{x^2};]

      ou seja, a velocidade de escape ocorre para valores um pouco maior que 11,3 km/s.

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  6. Agora, se Simonns tivesse escrito que

    "Portanto, para garantir que [;v^2/2;] seja não- negativo (para não haver o retorno), não importa quão grande seja [;s;], devemos ter

    [;v_0^2/2 - gR \geq 0 \quad \Rightarrow \quad v_0 \geq \sqrt{2gr};]"

    Aí sim, esta parte teria sentido.

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  7. Ou, não, porque como [;v^2;] por ser quadrado já é sempre positivo ou nulo... Realmente, a justificativa deste autor está meio obscura...

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    1. Na época eu copiei do livro do Simmons esta passagem, mas concordo com você que o correto seria "Sendo v^2/2 >= 0, segue que [;v_0^2/2 - gR \geq 0 \quad \Rightarrow \quad v_0 \geq \sqrt{2gr};]".

      Eu fiz as contas sobre a velocidade mínima para que um corpo atinja a distância da Terra-Lua e para minha supresa, achei 11,2 km/s, ou seja, um décimo a menos que a velocidade de escape.

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  8. Quer dizer que a Lua está no limite de escapar da Terra??! Interessante...

    Isto indica que, a despeito da hipótese [;s \rightarrow \infty;], essa distância não preciso ser muito grande em termos astronômicos para se verificar uma gravidade terrestre desprezível.

    Obrigado por responder minhas dúvidas.

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    1. Vou refazer os cálculos novamente e enviar por e-mail. Obrigado pelos comentários.

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