cuja a equação cartesiana dada poré semelhante de certa forma a uma esfera de raio ![[;1;]](http://thewe.net/tex/1 "1")
,
cuja equação cartesiana é
![[;x^2 + y^2 + z^2 = r^2 \quad \quad (2);]](http://thewe.net/tex/x%5E2%20+%20y%5E2%20+%20z%5E2%20=%20r%5E2%20%5Cquad%20%5Cquad%20%282%29 "x^2 + y^2 + z^2 = r^2 \quad \quad (2)")
cuja equação cartesiana éou seja, se tomarmos uma bola de borracha, podemos esticá-la de tal forma que ela se transforme num elipsóide. Na linguagem da topologia, dizemos que essas superfícies são homeomorfas. Além disso, por Arquimedes sabemos que o volume da esfera de raio ![[;r;]](http://thewe.net/tex/r "r")
é
![[;V = \frac{4\pi r^3}{3} \quad \quad (3);]](http://thewe.net/tex/V%20=%20%5Cfrac%7B4%5Cpi%20r%5E3%7D%7B3%7D%20%5Cquad%20%5Cquad%20%283%29 "V = \frac{4\pi r^3}{3} \quad \quad (3)")
Surge então a pergunta: Como podemos calcular o volume do elipsóide a partir das fórmulas![[;(2);]](http://thewe.net/tex/%282%29 "(2)")
e ![[;(3);]](http://thewe.net/tex/%283%29 "(3)")
?
Para responder esta pergunta, usaremos o Princípio de Cavalieri:
Se todo plano![[;\pi;]](http://thewe.net/tex/%5Cpi "\pi")
horizontal secciona os sólidos ![[;A;]](http://thewe.net/tex/A "A")
e ![[;B;]](http://thewe.net/tex/B "B")
tais que a área de interseção é ![[;k;]](http://thewe.net/tex/k "k")
vezes a área de interseção , onde é uma constante, então
![[;V(A) = kV(B);]](http://thewe.net/tex/V%28A%29%20=%20kV%28B%29 "V(A) = kV(B)")
Surge então a pergunta: Como podemos calcular o volume do elipsóide a partir das fórmulas
Para responder esta pergunta, usaremos o Princípio de Cavalieri:
Se todo plano
Para usar este princípio, considere a esfera ![[;x^2 + y^2 + z^2 = c^2;]](http://thewe.net/tex/x%5E2%20+%20y%5E2%20+%20z%5E2%20=%20c%5E2 "x^2 + y^2 + z^2 = c^2")
e o elipsóide ![[;(1);]](http://thewe.net/tex/%281%29 "(1)")
acima. Observe que essas equações interceptam o eixo ![[;z;]](http://thewe.net/tex/z "z")
nos pontos ![[;(0,0,\pm c );]](http://thewe.net/tex/%280,0,%5Cpm%20c%20%29 "(0,0,\pm c )")
.
Seja![[;z = z_0;]](http://thewe.net/tex/z%20=%20z_0 "z = z_0")
um plano paralelo ao plano ![[;xy;]](http://thewe.net/tex/xy "xy")
cuja interseção com a esfera é o círculo ![[;x^2 + y^2 = c^2 - z_{0}^2;]](http://thewe.net/tex/x%5E2%20+%20y%5E2%20=%20c%5E2%20-%20z_%7B0%7D%5E2 "x^2 + y^2 = c^2 - z_{0}^2")
. A área desse círculo é
![[;S_1 = \pi(c^2 - z_{0}^2) \quad \quad (4);]](http://thewe.net/tex/S_1%20=%20%5Cpi%28c%5E2%20-%20z_%7B0%7D%5E2%29%20%5Cquad%20%5Cquad%20%284%29 "S_1 = \pi(c^2 - z_{0}^2) \quad \quad (4)")
Analogamente, o plano![[;z_0;]](http://thewe.net/tex/z_0 "z_0")
intercepta o elipsóide formando a elipse
![[;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{(c^2 - z_{0}^2)}{c^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2}{(pa)^2} + \frac{y^2}{(pb)^2} = 1;]](http://thewe.net/tex/%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20+%20%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%20=%20%5Cfrac%7B%28c%5E2%20-%20z_%7B0%7D%5E2%29%7D%7Bc%5E2%7D%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%28pa%29%5E2%7D%20+%20%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B%28pb%29%5E2%7D%20=%201 "\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{(c^2 - z_{0}^2)}{c^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2}{(pa)^2} + \frac{y^2}{(pb)^2} = 1")
onde ![[;p = \frac{\sqrt{c^2 - z_{0}^2}}{c};]](http://thewe.net/tex/p%20=%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bc%5E2%20-%20z_%7B0%7D%5E2%7D%7D%7Bc%7D "p = \frac{\sqrt{c^2 - z_{0}^2}}{c}")
cuja área é
![[;S_2 = \pi(pa)(pb) = \frac{\pi a b(c^2 - z_{0}^2)}{c^2};]](http://thewe.net/tex/S_2%20=%20%5Cpi%28pa%29%28pb%29%20=%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20a%20b%28c%5E2%20-%20z_%7B0%7D%5E2%29%7D%7Bc%5E2%7D "S_2 = \pi(pa)(pb) = \frac{\pi a b(c^2 - z_{0}^2)}{c^2}")
Note que ![[;S_2/S_1 = \frac{ab}{c^2} = k;]](http://thewe.net/tex/S_2/S_1%20=%20%5Cfrac%7Bab%7D%7Bc%5E2%7D%20=%20k "S_2/S_1 = \frac{ab}{c^2} = k")
. Assim, pelo Princípio de Cavalieri, temos
![[;V_2 = kV_1 = \frac{ab}{c^2}\times \frac{4\pi c^3}{3} = \frac{4\pi abc}{3};]](http://thewe.net/tex/V_2%20=%20kV_1%20=%20%5Cfrac%7Bab%7D%7Bc%5E2%7D%5Ctimes%20%5Cfrac%7B4%5Cpi%20c%5E3%7D%7B3%7D%20=%20%5Cfrac%7B4%5Cpi%20abc%7D%7B3%7D "V_2 = kV_1 = \frac{ab}{c^2}\times \frac{4\pi c^3}{3} = \frac{4\pi abc}{3}")
Seja
Analogamente, o plano
Para ver um post detalhado sobre esse assunto visite o blog O Baricentro da Mente do colega Kleber e leia esse excelente artigo O Princípio de Cavalieri.
É, uma caulculo desse é desconhecido até o instante por mim, achei muito interessante, e como um futuro Ciêntista da Computação (Curso que pretendo) creio que ei de ver muitos calculos, e penso que esse é um deles.
ResponderExcluirSeria grato se me indicasse um bom livro de matematica basica, um que demonstre bem a linha de raciocinio! daqui a pouco vestibulares pela frente, acho que pra se dar bem a matematica basica é o principal entre todos os requisitos!
Até mais
Nossa... eu amo matemática!!
ResponderExcluirAlgebra né, detesto geometria...
Parabéns pelo diferencial do blog. Que ele consiga inserir em pelo menos metade dos visitantes, o quão a mátemática é bela, e o quão ela vai além dos "problemas". Matemática é nossa casa estar de pé e a gente estar teclando, entre tantos outros avanços.
Parabéns e sorte!
Pobre Esponja
Estão de Parabens !!!
ResponderExcluirUm dos melhores sites