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Sobre o Produto Escalar

Analiticamente o produto escalar é apresentado em Geometria Analítica nos primeiros semestres da universidade. O produto escalar dos vetores [;\vec{u}= (u_1,u_2,u_3);] e [;\vec{v}=(v_1,v_2,v_3);], denotado por [;\vec{u}\cdot \vec{v};] é definido por

[;\vec{u}\cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \quad \quad (1);]

Segue desta definição que [;\vec{u}\cdot {v} = \vec{v}\cdot \vec{u};]. Além disso, se [;\theta;] é o ângulo entre dois vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v};], então através da Lei dos Cossenos é fácil mostrar que

[;\vec{u}\cdot \vec{v} = |\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cos \theta;] com [;0 \leq \theta \leq \pi;] rad [;(2);]

Vejamos agora como podemos relacionar o produto escalar com o módulo de um vetor. Para ver isso, suponhamos que [;\vec{u} = \vec{v};] na definição acima. Assim,

[;\vec{u}\cdot \vec{u} = u_{1}^2 + u_{2}^2 + u_{3}^2 = |\vec{u}|^2;] [;(3);]

donde segue que o módulo de um vetor é igual a raiz quadrada do produto escalar deste vetor por ele mesmo.

Vejamos uma aplicação elementar do produto escalar que é deduzir a seguinte fórmula trigonométrica:

[;\cos(\beta - \alpha) = \cos \beta cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha;]

Na figura acima, [;\vec{u} = (\cos \alpha,\ \sin \alpha);] e [;\vec{v} = (\cos \beta, \ \sin \beta);] e pela propriedade [;(3);] é fácil ver que esses vetores são unitários. Assim, por [;(1);], temos

[;\vec{u}\cdot \vec{v} = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta;] [;(4);]
e pela fórmula [;(2);],
[;\vec{u}\cdot \vec{v} = cos(\beta - \alpha);] [;(5);]

De [;(4);] e [;(5);] segue o resultado. Usando o fato que cosseno é uma função par, que o seno é uma função ímpar e que o cosseno do complementar de um ângulo é igual ao seno desse ângulo e vice-versa, obtém-se as demais identidades trigonométricas.

Existem outras aplicações importantes relacionada com o produto escalar, tais como o cálculo do trabalho de uma força constante e em problemas que aparece o vetor projeção.

Encerro esse post enfatizando que na Matemática, raramente encontra-se assuntos isolados e a divisão feita em capítulos apresentada nos livros didáticos, é apenas uma estratégia para apresentar os assuntos, e que reflexões sobre temas distintos deve sempre permeiar vossas mentes.

9 comentários:

  1. Na prática é mais fácil...

    Já tô quase fazendo automático isso!
    huahauhauhauhau

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  2. olá paulo, por favor me ajude, no exercicio do boulos: prove que ||u||=u=0, não sei como fazer isso, não entendi esse versor, como provo isso, abraço !

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    1. Escreva o enunciado igual ao que aparece no livro. Assim está confuso.

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  3. prove que ||u||=u=0(vetores)

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    1. Acho que o enunciado é o seguinte: Prove que |u| = 0 se e somente se u = 0.

      Seja u = (x_1,...,x_n). É claro que se u = 0, significa que todas as suas componentes são nulas e portanto, |u| = 0.

      Para provar que |u| = 0 implica u = 0, usaremos o método da contrapositiva. (Procura o post Prova por absurdo e contrapositiva partes 1 e 2 no blog, caso não conheça o método.) Suponhamos que [;u \neq 0;]. Assim, existe algum [;x_p \neq 0;], para [;1 \leq p \leq n;], de modo que
      [;|u|^2 \geq x_{p}^{2} > 0;].

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  4. obrigada pela atenção, paulo ! abraço

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  5. e esse daqui, como faz:
    prove ||u|| = 0 <--> u = 0 ?

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    1. Este exercício foi o que eu resolvi acima. O símbolo, <--> significa se e somente se.

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  6. ahh entendi obrigada

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