FATOS MATEMÁTICOS: Olimpíadas dos Fatos Matemáticos (Parte 2)

sexta-feira, 27 de novembro de 2009

Olimpíadas dos Fatos Matemáticos (Parte 2)

Na categoria de Matemática Básica recebi resoluções das questões $[;1;]$ , $[;2;]$ e $[;3;]$ . A categoria Matemática Superior continua aberta a participações, lembrando que o primeiro colocado receberá um mini-soroban de madeira com um pequeno manual de instruções. Para maiores informações sobre o regulamento (click aqui).

Vejamos as resoluções das questões da primeira rodada:
1) Sejam $[;C_1;]$ e $[;C_2;]$ duas circunferências concêntricas de raios $[;r;]$ e $[;R;]$ respectivamente, com $[;r \prec R;]$ . Os pontos $[;A;]$ , $[;B;]$ e $[;C;]$ , distintos dois a dois, pertencem a $[;C_2;]$ e as cordas $[;AB;]$ e $[;AC;]$ são tangentes a $[;C_1;]$ . Sabendo que $[;R = 5;]$ e $[;BC = 8;]$ , determine o raio de $[;C_1;]$ .

O triângulo $[; \Delta ANB;]$ é retângulo em $[;N;]$ e semelhante ao triângulo $[;\Delta OMA;]$ , porque têm os três ângulos congruentes. Assim,

$[;\frac{OM}{BN} = \frac{OA}{BA} \quad \Rightarrow \quad \frac{r}{4} = \frac{5}{2MA};]$

pois $[;OM = r,\ BN = 4, \ OA = R = 5;]$ e $[;BA = 2MA;]$ . Assim, tem-se $[;MA = \frac{10}{r};]$ . Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo $[;\Delta OMA;]$ , obtém-se a equação $[;r^2 + (10/r)^2 = 5^2;]$ , cujas soluções são $[;r = 2\sqrt{5};]$ e $[;r = 2\sqrt{5};]$ . Sendo $[;OA/BA \prec 1;]$ , então $[;r \prec 4;]$ , donde segue que $[;r = \sqrt{5};]$ . Fonte: XXI OPM - Categoria B/2003.

2) Analisando-se certa amostra de leite, verificou-se que havia adicionado água. Um litro de leite adulterado pesa $[;1015 \ g;]$ . Calcule quantos $[;ml;]$ de água adicionada contém $[;1;]$ litro dessa amostra, sabendo que o leite puro pesa $[;1025 \ g;]$ por litro e água pesa $[;1000\ g;]$ por litro.

Note que a amostra de leite adulterado, é uma mistura de leite puro com água. A densidade é definida por $[; d = \frac{m}{V};]$ , então se $[;x;]$ é a quantidade de água presente na amostra de leite adulterado de volume $[;1000 \ ml;]$ , a quantidade de leite puro é $[;1000 - x;]$ . Sendo, a densidade do leite adulterado igual a $[;1,015\ g/ml;]$ , então

$1,015 = \frac{1,025.(1000 - x) + 1,000.x}{(1000 - x) + x} \quad \Rightarrow \quad x = 400 \ ml$

3) Prove que num triângulo $[;ABC;]$ agudo, vale a relação:

$[; \frac{(a+b)/2}{(a-b)/2} = \frac{\tan(A+B)/2}{\tan(A-B)/2};]$

Aplicando a lei dos senos no triangulo $[;\Delta ABC;]$ , temos:

$[;\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B} \quad \Rightarrow \quad \frac{a+b}{b} = \frac{\sin A + \sin B}{\sin B};]$ $[;\text{e} \quad \frac{a - b}{b} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin B};]$

de modo que

$[;\frac{a + b}{a - b} = \frac{\sin A +\sin B}{\sin A - \sin B} = \frac{2\sin[(A+B)/2]\cos[(A - B)/2]}{2\sin[(A - B)/2]\cos[(A + B)/2]};]$

Aplicando a definição de tangente em um triângulo retângulo, segue o resultado. Solução enviada por Gustavo Oliveira.

Vejamos agora as questões desta etapa:

1) Resolva a equação $[;x^4 - 2x^2 + 5x - 6 = 0;]$ .
2) Quanto tempo após o meio dia, o ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos formam um ângulo de $[;90^{\circ};]$ .
3) Seja o número complexo $[;z = x + iy;]$ . Prove que $[;\mid x + y \mid \leq \sqrt{2} \mid z \mid;]$ .
4) Na figura abaixo $[;AD = 16;]$ , $[;AC = 15;]$ e $[;BD = 12;]$ . Determine a área do $[;\Delta ABE;]$ .