FATOS MATEMÁTICOS: Problemas de Otimização Através da Trigonometria

domingo, 8 de novembro de 2009

Problemas de Otimização Através da Trigonometria

Neste post, irei falar sobre alguns problemas de otimização que podem ser expressos de forma simples quando usamos uma linguagem trigonométrica.

O objetivo é apenas formular os problemas , deixando a finalização para os leitores. Começaremos com o seguinte problema:

Problema 1) Na figura ao lado temos um cone formado pela rotação da região limitada por uma barra de comprimento $[;a;]$ . O problema é determinar o ângulo $[;\theta;]$ entre essa barra e o eixo $[;x\ ;]$ de modo que o volume do cone seja máximo.

Resolução: Da figura, $[;h = a\cos \theta;]$ e $[;r = a\sin \theta;]$ . Sendo $[;V = \frac{\pi r^2 h}{3};]$ , segue que

$[;V(\theta) = \frac{\pi a^3\sin^2\theta \cos \theta}{3};]$ para $[;0 \leq \theta \prec \frac{\pi}{2};]$

Derivando $[;V(\theta);]$ , igualando a zero e resolvendo a equação resultante obtém-se o resultado.

Problema 2) Entre todos triângulos isósceles inscritos numa circunferência de raio $[;R;]$ . Determine aquele que possui área máxima.

Resolução: Na figura ao lado, $[;AC = BC;]$ , de modo que os triângulos $[;AOC;]$ e $[;BOC;]$ são congruentes. Assim,

$[;\widehat{ABC} = \alpha = \frac{360^{\circ} - \theta}{2} = 180^{\circ} - \frac{\theta}{2};]$

de modo que $[;sin \alpha = \sin (\theta/2) ;]$ .

Aplicando o teorema das áreas nos $[;3;]$ triângulos $[;AOB;]$ , $[;AOC;]$ e $[;BOC;]$ que compõe o triangulo $[;ABC;]$ , temos: