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Problemas de Otimização Através da Trigonometria

Neste post, irei falar sobre alguns problemas de otimização que podem ser expressos de forma simples quando usamos uma linguagem trigonométrica.

O objetivo é apenas formular os problemas , deixando a finalização para os leitores. Começaremos com o seguinte problema:

Problema 1) Na figura ao lado temos um cone formado pela rotação da região limitada por uma barra de comprimento [;a;]. O problema é determinar o
ângulo [;\theta;] entre essa barra e o eixo [;x\ ;] de modo que o volume do cone seja máximo.

Resolução: Da figura, [;h = a\cos \theta;] e [;r = a\sin \theta;]. Sendo
[;V = \frac{\pi r^2 h}{3};] , segue que

[;V(\theta) = \frac{\pi a^3\sin^2\theta \cos \theta}{3};] para [;0 \leq \theta \prec \frac{\pi}{2};]

Derivando [;V(\theta);], igualando a zero e resolvendo a equação resultante obtém-se o resultado.

Problema 2) Entre todos triângulos isósceles inscritos numa circunferência de raio [;R;]. Determine aquele que possui área máxima.

Resolução: Na figura ao lado, [;AC = BC;], de modo que os triângulos [;AOC;] e [;BOC;] são congruentes. Assim,
[;\widehat{ABC} = \alpha = \frac{360^{\circ} - \theta}{2} = 180^{\circ} - \frac{\theta}{2};]

de modo que [;sin \alpha = \sin (\theta/2) ;].

Aplicando o teorema das áreas nos [;3;] triângulos [;AOB;], [;AOC;] e [;BOC;] que compõe o triangulo [;ABC;], temos:

[;S(\theta) = \frac{R^2}{2}\sin \theta + R^2\sin(\frac{\theta}{2});] para [;\theta \prec \theta \prec 90^{\circ};]

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