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Resolvendo a Equação Quadrática Através do Compasso

Já apresentei uma forma diferente de deduzir a fórmula de Bháskara (click aqui) e essa fórmula é uma das mais conhecidas na Matemática, mas historicamente, a resolução através dessa fórmula é recente.

Os antigos gregos, através da sugestão de Platão, desenvolveu sua Geometria e sua Álgebra Geométrica usando apenas régua e compasso, incluindo o problema de achar as raízes de uma equação quadrática.

A construção com régua e compasso é um excelente método para desenvolver o raciocínio e é também uma excelente atividade que pode ser desenvolvida com os alunos. O inventor da Geometria Analítica, René Descartes mostra um método de construir as raízes de uma equação quadrática. Veremos aqui, um método desenvolvido por Sr. Thomas Carlyle ([;1775-1881;]) e que apareceu no livro Elements of Geometry de Leslie (Eves, pg [;123;]).

Para isso, dada a equação quadrática [;x^2-bx+c = 0;], sendo [;b;] e [;c;] números reais. Marque no sistema de coordenadas os pontos [;B(0,1);] e [;Q(b,c);]. Use o compasso e determine o ponto [;C;] (ponto médio de [;BQ;]). Construa um círculo colocando a ponta do compasso em [;C;] e abertura [;BQ/2;]. Se esse círculo cortar o eixo [;x\ ;] nos pontos [;M;] e [;N;], então esses pontos são as raízes da equação quadrática dada.

De fato, a equação da circunferência de centro [;C(\frac{b}{2},\frac{c+1}{2});] e raio [;OB;] é dada por

[;(x - \frac{b}{2})^2 + (y - \frac{c+1}{2})^2 = (\frac{b}{2} - 0)^2 + (\frac{c+1}{2} - 1)^2 ;]

Os pontos [;M;]e [;N;] são obtidos fazendo [;y = 0;] nesta equação, isto é

[;(x - \frac{b}{2})^2 + \frac{(c+1)^2}{4} = \frac{b^2}{4} + (\frac{c+1}{2} - 1)^2;]

Expandindo os termos acima, obtemos a equação quadrática [;x^2 - bx + c =0;], o que prova as raízes desta equação são os pontos [;M;] e [;N;].

Para finalizar surge a pergunta: O que a parábola [;y = x^2/4;] tem a ver com as raízes da equação quadrática?

Resposta: Sendo [;\Delta = b^2 - 4c;], então a parábola dá as condições em que o círculo intercepta o eixo [;x\ ;] em dois pontos, tangencia ou não intercepta o eixo. Por exemplo a circunferência na figura acima intercepta o eixo [;x\ ;] em dois pontos porque o ponto [;Q(b,c);] está fora da região amarela limitada pela parábola. Mas isto é o mesmo que dizer que [;c \prec \frac{b^2}{4} \quad \Rightarrow \quad \Delta = b^2 - 4c \succ 0;].

Exercícios: Use uma folha de papel milimetrado, desenhe um sistema cartesiano e use um compasso para resolver as equações quadráticas abaixo:
1) [;x^2 - 4x + 3 = 0;];
2) [;x^2 - 2x - 8 = 0;];
3) [;x^2 + 6x + 5 = 0;].

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