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Duas Médias (Parte 2)

A média aritmética-geométrica é muito conhecida na Matemática e para ver a primeira parte deste assunto (click aqui). Neste post, pretendo generalizar esta média mostrando que ela continua verdadeira para [;3;], [;4;] e [;n;] termos.

Sejam [;a_1,a_2, \ldots, a_n;] inteiros não-negativos e designaremos por [;P_n;] a seguinte desigualdade:

[;P_n: \quad \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \quad \geq \quad \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n};]

A demonstração para [;n = 2;], segue do fato que [;(\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2})^2 \geq 0;]. A desigualdade é verdadeira também para [;n=4;], devido o seguinte argumento. Note que

[;\frac{a_1 + a_2}{2} \geq \sqrt{a_1a_2};] e [;\frac{a_3 + a_4}{2} \geq \sqrt{a_3a_4};]
Assim,

[;\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} =  \frac{1}{2}\biggl(\frac{a_1 + a_2}{2} + \frac{a_3 + a_4}{2} \biggr)  \quad \geq \quad \frac{1}{2}(\sqrt{a_1a_2} + \sqrt{a_3a_4});]

ou seja,
[;\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} \quad \geq \quad \sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4};]

O caso [;n=3;] é consequência do caso anterior, fazendo [;a_4 = \sqrt[3]{a_1a_2a_3};] . De fato,

[;\frac{a_1 + a_2 + a_3 + \sqrt[3]{a_1a_2a_3}}{4} \quad \geq  \quad \sqrt[4]{a_1a_2a_3(a_1a_2a_3)^{1/3}};]

[;= [(a_1a_2a_3)^{4/3}]^{1/4} =  \sqrt[3]{a_1a_2a_3};]

donde segue o resultado. O caso é consequência direta das Proposições abaixo, demonstradas primeiramente por Augustin L. Cauchy em seu "Curso de Análise" de
[;1821;].

Proposição [;1;]: Se a proposição [;P_n;] é válida para qualquer inteiro [;n \geq 3;], então [;P_{n-1};] também é válida.

Demonstração: Por hipótese, sabemos que a desigualdade

[;\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \quad \geq \quad \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n} \quad \quad (1);]

Tomando e substituindo em [;(1);]
, temos:

[;\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + (a_1a_2\ldots a_n)^{1/(n-1)}}{n};]
ou
[;\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + (a_1a_2\ldots  a_{n-1})^{1/(n-1)}}{n} \quad \geq;]

[;\sqrt[n]{(a_1a_2\ldots a_{n-1})(a_1a_2\ldots  a_{n-1})^{1/(n-1)}};]

ou seja,
[;a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + (a_1a_2\ldots  a_{n-1})^{1/(n-1)};]

[;\geq \quad n(a_1a_2\ldots a_{n-1})^{n-1};]

donde segue o resultado.

Proposição [;2;]: Se a proposição [;P_n;] é válida para qualquer inteiro [;n \geq 2;], então [;P_{2n};] também é válida.

Demonstração: Note que

[;a_1 + a_2 \quad \geq \quad 2\sqrt{a_1a_2},\ldots \quad \quad ,a_{2n-1} + a_{2n} \quad \geq \quad 2\sqrt{a_{2n-1}a_{2n}};]

Somando essas desigualdades membro a membro, temos

[;a_1 + a_2 +\ldots + a_{2n-1} + a_{2n} \quad \geq \quad 2(\sqrt{a_1a_2} + \ldots + \sqrt{a_{2n-1}a_{2n}});]

Usando a hipótese, segue que


[;a_1 + a_2+ \ldots + a_{2n - 1} + a_{2n} \quad \geq \quad 2n \sqrt[n]{\sqrt{a_1a_2}\ldots \sqrt{a_{2n-1}a_{2n}}};]
Logo,
[;\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n-1} + a_{2n}}{2n} \quad \geq \quad \sqrt[2n]{a_1\ldots a_{2n}};]

Com estas duas Proposições segue o caso geral. Por exemplo, se quisermos estabelecer a veracidade para [;P_{60};], começamos com o resultado para [;n=64;] que é verdadeiro devido a Proposição [;2;] e aplicando a Proposição [;1;] segue o resultado.

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