FATOS MATEMÁTICOS: Duas Médias (Parte 2)

quarta-feira, 23 de dezembro de 2009

Duas Médias (Parte 2)

A média aritmética-geométrica é muito conhecida na Matemática e para ver a primeira parte deste assunto (click aqui). Neste post, pretendo generalizar esta média mostrando que ela continua verdadeira para $[;3;]$ , $[;4;]$ e $[;n;]$ termos.

Sejam $[;a_1,a_2, \ldots, a_n;]$ inteiros não-negativos e designaremos por $[;P_n;]$ a seguinte desigualdade:

$[;P_n: \quad \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \quad \geq \quad \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n};]$

A demonstração para $[;n = 2;]$ , segue do fato que $[;(\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2})^2 \geq 0;]$ . A desigualdade é verdadeira também para $[;n=4;]$ , devido o seguinte argumento. Note que

$[;\frac{a_1 + a_2}{2} \geq \sqrt{a_1a_2};]$ e $[;\frac{a_3 + a_4}{2} \geq \sqrt{a_3a_4};]$

Assim,

$[;\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} = \frac{1}{2}\biggl(\frac{a_1 + a_2}{2} + \frac{a_3 + a_4}{2} \biggr) \quad \geq \quad \frac{1}{2}(\sqrt{a_1a_2} + \sqrt{a_3a_4});]$

$\geq \sqrt{\sqrt{a_1a_2}\cdot \sqrt{a_3a_4}}$

ou seja,

$[;\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} \quad \geq \quad \sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4};]$

O caso $[;n=3;]$ é consequência do caso anterior, fazendo $[;a_4 = \sqrt[3]{a_1a_2a_3};]$ . De fato,

$[;\frac{a_1 + a_2 + a_3 + \sqrt[3]{a_1a_2a_3}}{4} \quad \geq \quad \sqrt[4]{a_1a_2a_3(a_1a_2a_3)^{1/3}};]$

$[;= [(a_1a_2a_3)^{4/3}]^{1/4} = \sqrt[3]{a_1a_2a_3};]$

donde segue o resultado. O caso é consequência direta das Proposições abaixo, demonstradas primeiramente por Augustin L. Cauchy em seu "Curso de Análise" de
$[;1821;]$ .

Proposição $[;1;]$ : Se a proposição $[;P_n;]$ é válida para qualquer inteiro $[;n \geq 3;]$ , então $[;P_{n-1};]$ também é válida.

Demonstração: Por hipótese, sabemos que a desigualdade

$[;\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \quad \geq \quad \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n} \quad \quad (1);]$

Tomando $a_n = (a_1a_2\ldots a_{n-1})^{1/(n-1)}$ e substituindo em $[;(1);]$ , temos:

$[;\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + (a_1a_2\ldots a_n)^{1/(n-1)}}{n};]$

$[;\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + (a_1a_2\ldots a_{n-1})^{1/(n-1)}}{n} \quad \geq;]$

$[;\sqrt[n]{(a_1a_2\ldots a_{n-1})(a_1a_2\ldots a_{n-1})^{1/(n-1)}};]$

ou seja,

$[;a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + (a_1a_2\ldots a_{n-1})^{1/(n-1)};]$

$[;\geq \quad n(a_1a_2\ldots a_{n-1})^{n-1};]$

donde segue o resultado.

Proposição $[;2;]$ : Se a proposição $[;P_n;]$ é válida para qualquer inteiro $[;n \geq 2;]$ , então $[;P_{2n};]$ também é válida.

Demonstração: Note que

$[;a_1 + a_2 \quad \geq \quad 2\sqrt{a_1a_2},\ldots \quad \quad ,a_{2n-1} + a_{2n} \quad \geq \quad 2\sqrt{a_{2n-1}a_{2n}};]$

Somando essas desigualdades membro a membro, temos

$[;a_1 + a_2 +\ldots + a_{2n-1} + a_{2n} \quad \geq \quad 2(\sqrt{a_1a_2} + \ldots + \sqrt{a_{2n-1}a_{2n}});]$

Usando a hipótese, segue que

$[;a_1 + a_2+ \ldots + a_{2n - 1} + a_{2n} \quad \geq \quad 2n \sqrt[n]{\sqrt{a_1a_2}\ldots \sqrt{a_{2n-1}a_{2n}}};]$

Logo,

$[;\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n-1} + a_{2n}}{2n} \quad \geq \quad \sqrt[2n]{a_1\ldots a_{2n}};]$

Com estas duas Proposições segue o caso geral. Por exemplo, se quisermos estabelecer a veracidade para $[;P_{60};]$ , começamos com o resultado para $[;n=64;]$ que é verdadeiro devido a Proposição $[;2;]$ e aplicando a Proposição $[;1;]$ segue o resultado.

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Duas Médias (Parte 2)

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