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Euler e o Quadrilátero Convexo

Para o grande matemático Leonhard Euler não houve área da Matemática em que ele não usou o seu intelecto e para mostrar o seu poder de raciocínio, vejamos um teorema de Geometria Plana que Euler demonstrou em seu livro Introductio in analysin infinitorum de [;1748;]. Para saber mais sobre a vida e a obra (click aqui).

Teorema: (Euler) Dado qualquer quadrilátero convexo [;ABCD;] (figura acima) com diagonais [;AC;] e [;BD;]. Se um paralelogramo é completado sobre os lados [;AB;] e [;BC;] formando o paralelogramo [;ABCE;]e se os dois pontos [;D;] e [;E;] são ligados formando o segmento [;DE;], então

[;AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2 + DE^2;]

Demonstração: Construa [;F;] de modo que [;CF \ \parallel \ AD;] e [; BF \ \parallel \ ED;]. Desde que [;BC = AE;] segue que [;\triangle CBF \simeq \triangle AED;]. Em seguida, baixe as linhas [;AF;], [;DF;] e [;EF;]Desde que [;BC = AE;] segue que [;\triangle CBF \simeq \triangle AED;]. Em seguida, baixe as linhas [;AF;], [;DF;] e veja os paralelogramos [;ADCF;] e [;BDEF;] com diagonais [;AC;], [;DF;] e [;BE;], [;DF;] conforme a figura abaixo.


Em seguida, Euler cita a "propriedade do paralelogramo", dada por

[;2AD^2 + 2CD^2 = AC^2 + DF^2;] [;\quad;] em [;\quad;] [;ADCF \quad \quad (1);]
e
[;2BD^2 + 2DE^2 = BE^2 + DF^2;] [;\quad;] em [;\quad;] [;BDEF \quad \quad (2);]

Estas identidades são consequências diretas da Lei dos Cossenos, pois sendo os ângulos [;A\hat{D}C;] e [;D\hat{C}F;], segue que [;\cos(D\hat{C}F) = - \cos(A\hat{D}C);], de modo que

[;\begin{cases}DF^2 &= AD^2 + CD^2 + 2AD\cdot DC\cos(A\hat{D}C)\\AC^2 &= AD^2 + CD^2 - 2AD\cdot CD\cos(A\hat{D}C)\\\end{cases};]

Somando essas duas equações obtemos a equação [;(1);]. Isolando [;DF^2;] em [;(2);] e substituindo em [;(1);], temos:

[;2AD^2 + 2CD^2 = 2BD^2 + 2DE^2 + AC^2 - BE^2 \quad \quad (3);]

No paralelogramo [;ABCE;], temos:

[;2AB^2 + 2BC^2 = AC^2 + BE^2 \quad \quad (4);]

Fazendo [;(3) + (4);], segue que

[;2AD^2 + 2CD^2 + 2AB^2 + 2BC^2 = 2BD^2 + 2DE^2 + 2AC^2;]

donde segue o resultado.

Euler apresenta [;3;] corolários que apresento abaixo cuja demonstração são cálculos rotineiros.

Corolário 1: Se o quadrilátero [;ABCD;] é um paralelogramo, então [;DE = 0;] e assim, a soma dos lados é exatamente a soma dos quadrados das diagonais.

Observação: Este mesmo resultado continua válido se [;ABCD;] é um retângulo, losando ou quadrado.

Corolário 2: A soma dos quadrados dos lados de um quadrilátero é maior ou igual a soma dos quadrados das diagonais, isto é,

[;AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 \quad \geq \quad AC^2 + BD^2;]

Corolário 3: Sejam [;P;] e [;Q;] os pontos médios das diagonais [;AC;] e [;BD;] respectivamente no quadrilátero [;ABCD;], então [;PQ = DE/2;] e

[;AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = AC^2 + BD^2 + 4PQ^2;]

Referência: Sandifer, Ed. How Euler Did It.

3 comentários:

  1. essa descoberta de euler lembra o british flag theorem(teorema da bandeira britanica),que nao é muito conhecido no brasil.há uma prova dele na wikipedia,porque vc nao faz uma postagem sobre ele e ajuda a divulga-lo em nosso país?

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  2. Respostas
    1. Leia novamente com calma. Para aprender Matemática, temos que ser persistentes.

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