Euler e o Quadrilátero Convexo

Para o grande matemático Leonhard Euler não houve área da Matemática em que ele não usou o seu intelecto e para mostrar o seu poder de raciocínio, vejamos um teorema de Geometria Plana que Euler demonstrou em seu livro Introductio in analysin infinitorum de . Para saber mais sobre a vida e a obra (click aqui).

Teorema: (Euler) Dado qualquer quadrilátero convexo (figura acima) com diagonais e . Se um paralelogramo é completado sobre os lados e formando o paralelogramo e se os dois pontos e são ligados formando o segmento , então

Demonstração: Construa de modo que e . Desde que segue que . Em seguida, baixe as linhas , e Desde que segue que . Em seguida, baixe as linhas , e veja os paralelogramos e com diagonais , e , conforme a figura abaixo.


Em seguida, Euler cita a "propriedade do paralelogramo", dada por

em

e

em

Estas identidades são consequências diretas da Lei dos Cossenos, pois sendo os ângulos e , segue que , de modo que

Somando essas duas equações obtemos a equação . Isolando em e substituindo em , temos:

No paralelogramo , temos:

Fazendo , segue que

donde segue o resultado.

Euler apresenta corolários que apresento abaixo cuja demonstração são cálculos rotineiros.

Corolário 1: Se o quadrilátero é um paralelogramo, então e assim, a soma dos lados é exatamente a soma dos quadrados das diagonais.

Observação: Este mesmo resultado continua válido se é um retângulo, losando ou quadrado.

Corolário 2: A soma dos quadrados dos lados de um quadrilátero é maior ou igual a soma dos quadrados das diagonais, isto é,

Corolário 3: Sejam e os pontos médios das diagonais e respectivamente no quadrilátero , então e

Referência: Sandifer, Ed. How Euler Did It.