O "princípio de Fermat", afirma que um raio luminoso se propaga numa trajetória de modo que o tempo de percurso é mínimo. Usaremos esse princípio para deduzir a lei da refração da luz.Em meios diferentes (ar, água, vidro), a luz tem velocidades diferentes. Se um raio de luz passa do ar para a água, ele é refratado passando a uma direção mais próxima da perpendicular à interface. Suponha que o raio de luz de
Colocando um sistema de eixos cartesianos passando por ![[;A_1MB_1;]](http://thewe.net/tex/A_1MB_1 "A_1MB_1")
, de modo que ![[;M;]](http://thewe.net/tex/M "M")
é a origem, segue que a abscissa de ![[;B_1;]](http://thewe.net/tex/B_1 "B_1")
é x e de ![[;A_1;]](http://thewe.net/tex/A_1 "A_1")
é ![[;c-x;]](http://thewe.net/tex/c-x "c-x")
(Figura abaixo).
Por outro lado, sendo a velocidade da luz no ar ![[;v_a;]](http://thewe.net/tex/v_a "v_a")
e na água é ![[;v_w;]](http://thewe.net/tex/v_w "v_w")
, então o tempo total de percurso ![[;T;]](http://thewe.net/tex/T "T")
é otempo no ar mais o tempo na água é, isto é,
![[;T(x)=\frac{\sqrt{b^2+x^2}}{v_w}+\frac{\sqrt{a^2+(c-x)^2}}{v_a};]](http://thewe.net/tex/T%28x%29=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bb%5E2+x%5E2%7D%7D%7Bv_w%7D+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Ba%5E2+%28c-x%29%5E2%7D%7D%7Bv_a%7D "T(x)=\frac{\sqrt{b^2+x^2}}{v_w}+\frac{\sqrt{a^2+(c-x)^2}}{v_a}")
Calculando a derivada desta função e igualando a zero, temos
![[;T^{\prime}(x) = \frac{1}{v_w}\frac{2x}{2\sqrt{b^2 + x^2}} + \frac{1}{2v_a}\frac{2(c - x)(-1)}{\sqrt{a^2 + (c - x)^2}} = 0;]](http://thewe.net/tex/T%5E%7B%5Cprime%7D%28x%29%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bv_w%7D%5Cfrac%7B2x%7D%7B2%5Csqrt%7Bb%5E2%20+%20x%5E2%7D%7D%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2v_a%7D%5Cfrac%7B2%28c%20-%20x%29%28-1%29%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%20+%20%28c%20-%20x%29%5E2%7D%7D%20=%200 "T^{\prime}(x) = \frac{1}{v_w}\frac{2x}{2\sqrt{b^2 + x^2}} + \frac{1}{2v_a}\frac{2(c - x)(-1)}{\sqrt{a^2 + (c - x)^2}} = 0")
Por outro lado, sendo a velocidade da luz no ar Calculando a derivada desta função e igualando a zero, temos
donde segue que
![[;\frac{x}{\sqrt{b^2 + x^2}}\cdot\frac{1}{v_w} = \frac{(c - x)}{\sqrt{a^2 + (c - x)^2}}\cdot \frac{1}{v_a};]](http://thewe.net/tex/%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bb%5E2%20+%20x%5E2%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7Bv_w%7D%20=%20%5Cfrac%7B%28c%20-%20x%29%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%20+%20%28c%20-%20x%29%5E2%7D%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bv_a%7D "\frac{x}{\sqrt{b^2 + x^2}}\cdot\frac{1}{v_w} = \frac{(c - x)}{\sqrt{a^2 + (c - x)^2}}\cdot \frac{1}{v_a}")
ou seja,
![[;\frac{\sin \beta}{v_w} = \frac{\sin \alpha}{v_a};]](http://thewe.net/tex/%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cbeta%7D%7Bv_w%7D%20=%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Calpha%7D%7Bv_a%7D "\frac{\sin \beta}{v_w} = \frac{\sin \alpha}{v_a}")
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