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Um Caso Particular da Equação Quártica (Parte 1)

Sabemos que a equação completa de [;4^{\underline{o}};] grau pode ser resolvida através de radicais através do método de Ferrari, reduzindo a equação original numa equação cúbica chamada de resolvente. Apresento aqui uma da equação quártica, diferente dos casos particulares de equação biquadrada, equação incompleta e equação simétrica. Este caso particular é dado por

[;x^4 -2Px^2 + Qx + R = 0 \qquad \qquad (1);]

onde [;P;] é um número real positivo, [;Q;] e [;R;] são reais quaisquer que satisfazem a seguinte condição:

[;Q^2 = P^3 -4PR \quad \quad (2);]

Para resolver a equação, procedemos do seguinte modo:

[;x^4 - 2Px^2 + Qx + R = x^4 - Px - Px + Qx + R = 0;]

completando quadrados, temos:

[;\biggl( x^2 -\frac{P}{2} \biggr)^2 - P\biggl( x - \frac{Q}{2P}\biggr)^2 - \frac{P^3 - 4PR - Q^2}{4P} = 0;]

Usando a condição [;(2);], segue que
[;x^2 - \frac{P}{2} = \pm \sqrt{P}\biggl( x -  \frac{Q}{2P}\biggr);]

ou seja, obtemos duas equações quadráticas e através da fórmula de Bháskara, obtemos as raízes

[; x_1 = -\frac{\sqrt{P}}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{3P + \frac{2Q}{\sqrt{P}}};], [;x_2 = -\frac{\sqrt{P}}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3P + \frac{2Q}{\sqrt{P}}};] , [;x_3 = \frac{\sqrt{P}}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{3P - \frac{2Q}{\sqrt{P}}};] e [;x_4 = \frac{\sqrt{P}}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3P - \frac{2Q}{\sqrt{P}}};] [;\qquad (3);]

Exemplo:
Resolva a equação quártica [;x^4 - 10x^2 + 15x - 5 = 0;].

Como [;P = 5;], [;Q = 15;] e [;R = -5;], a condição [;(2);] está satisfeita e por [;(3);], segue que as raízes são dadas por:
[;x = \frac{\sqrt{5}}{2} \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{2}\sqrt{3\sqrt{5} + 6};] e [;x = \frac{\sqrt{5}}{2} \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{2}\sqrt{3\sqrt{5} - 6};]
Exercícios Propostos: Verifique se as equações abaixo satisfazem a condição [;(2);]e em caso afirmativo, ache suas raízes.

1) [; x^4 - 4x^2 + 4x - 1 = 0;];
2) [;x^4 - 8x^2 + 8\sqrt{2}x - 4 = 0;];
3) [;x^4 - 6x^2 + 5\sqrt{3}x - 4 = 0;];
4) [;x^4 - 2x^2 + 5x - 6 = 0;].

Obs. É claro que existem muitas equações quárticas que não satisfazem a condição acima, mas este caso serve de motivação para o método de Ferrari.

Problemas Matemáticos (Parte 1)

Este Post, é uma miscelânia de alguns problemas matemáticos de várias áreas e que possui níveis variados de dificuldade, mas historicamente, foram os problemas matemáticos que impulsionaram esse ramo do conhecimento.


I - Problemas Históricos:

1) (Brahmagupta) Prove que a área de um quadrilátero inscritível de lados [;a,b,c;]e [;d;] e perímetro [;p;] é dada por

[;S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)};]

2) (Nasir Edin) Prove que a soma de dois quadrados ímpares não pode ser um quadrado perfeito.

3) (François Viéte) Prove que num triângulo [;ABC;] agudo, vale a relação:

[; \frac{(a+b)/2}{(a-b)/2} = \frac{\tan(A+B)/2}{\tan(A-B)/2};]

4) (Pierre de Fermat) Prove que existe uma única solução de
[;x^2 + 2 = y^3;], onde [;x;] e [;y;] são inteiros positivos.

5) (Gottfried Leibniz) Mostre que

[;\sqrt{6} = \sqrt{1 + i\sqrt{3}} + \sqrt{1 - i\sqrt{3}};]

6) (John Wallis) Prove que

[;\int_{0}^{1}(x - x^2)^n dx = \frac{(n!)^2}{2n+1}, \quad n \in N;]

7) (Bernoulli) Exponha todos os detalhes para mostrar que a área sob a curva [;y = x^x;] de [;x = 0;] a [;x ;]= 1 é dada pela série infinita

[;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^n};]

8) (Leonhard Euler) Mostre que se [;m;] é uma potência de um primo, isto é, [; m = p^{\alpha};], então [; \phi(m) = p^{\alpha}(1 - 1/p);], onde [;\phi;] é a "função [;\phi;]de Euler".

Fonte: Boyer, Carl B. História da Matemática. Ed. Edgar Blucher, São Paulo, 1974.

II - Problemas Olímpicos:

1) Um contratorpedeiro localiza um submarino a uma distância de [;10\ km;]. Nesse instante o submarino submerge e parte em curso retilíneo, mas de direção desconhecida do contratorpedeiro. A velocidade do contratorpedeiro é [;3;] vezes a do submarino. Que curso deve tomar o contratorpedeiro para algum tempo depois estar sobre o submarino?

Fonte: Figueiredo, Djairo Guedes de e Neves, Aloisio Freitas. Equações Diferenciais Aplicadas.

Obs. Até hoje, não vi uma solução satisfatória desse problema, penso que é uma espiral, mas ainda não consegui provar.