FATOS MATEMÁTICOS: 2009/06

domingo, 28 de junho de 2009

Um Caso Particular da Equação Quártica (Parte 1)

Sabemos que a equação completa de $[;4^{\underline{o}};]$ grau pode ser resolvida através de radicais através do método de Ferrari, reduzindo a equação original numa equação cúbica chamada de resolvente. Apresento aqui uma da equação quártica, diferente dos casos particulares de equação biquadrada, equação incompleta e equação simétrica. Este caso particular é dado por

$[;x^4 -2Px^2 + Qx + R = 0 \qquad \qquad (1);]$

onde $[;P;]$ é um número real positivo, $[;Q;]$ e $[;R;]$ são reais quaisquer que satisfazem a seguinte condição:

$[;Q^2 = P^3 -4PR \quad \quad (2);]$

Para resolver a equação, procedemos do seguinte modo:

$[;x^4 - 2Px^2 + Qx + R = x^4 - Px - Px + Qx + R = 0;]$

completando quadrados, temos:

$[;\biggl( x^2 -\frac{P}{2} \biggr)^2 - P\biggl( x - \frac{Q}{2P}\biggr)^2 - \frac{P^3 - 4PR - Q^2}{4P} = 0;]$

Usando a condição $[;(2);]$ , segue que

$[;x^2 - \frac{P}{2} = \pm \sqrt{P}\biggl( x - \frac{Q}{2P}\biggr);]$

ou seja, obtemos duas equações quadráticas e através da fórmula de Bháskara, obtemos as raízes

$[; x_1 = -\frac{\sqrt{P}}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{3P + \frac{2Q}{\sqrt{P}}};]$ , $[;x_2 = -\frac{\sqrt{P}}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3P + \frac{2Q}{\sqrt{P}}};]$ , $[;x_3 = \frac{\sqrt{P}}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{3P - \frac{2Q}{\sqrt{P}}};]$ e $[;x_4 = \frac{\sqrt{P}}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3P - \frac{2Q}{\sqrt{P}}};]$ $[;\qquad (3);]$

Exemplo: Resolva a equação quártica $[;x^4 - 10x^2 + 15x - 5 = 0;]$ .

Como $[;P = 5;]$ , $[;Q = 15;]$ e $[;R = -5;]$ , a condição $[;(2);]$ está satisfeita e por $[;(3);]$ , segue que as raízes são dadas por:

$[;x = \frac{\sqrt{5}}{2} \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{2}\sqrt{3\sqrt{5} + 6};]$ e $[;x = \frac{\sqrt{5}}{2} \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{2}\sqrt{3\sqrt{5} - 6};]$

Exercícios Propostos: Verifique se as equações abaixo satisfazem a condição $[;(2);]$ e em caso afirmativo, ache suas raízes.

1) $[; x^4 - 4x^2 + 4x - 1 = 0;]$ ;
2) $[;x^4 - 8x^2 + 8\sqrt{2}x - 4 = 0;]$ ;
3) $[;x^4 - 6x^2 + 5\sqrt{3}x - 4 = 0;]$ ;
4) $[;x^4 - 2x^2 + 5x - 6 = 0;]$ .

Obs. É claro que existem muitas equações quárticas que não satisfazem a condição acima, mas este caso serve de motivação para o método de Ferrari.

Problemas Matemáticos (Parte 1)

Este Post, é uma miscelânia de alguns problemas matemáticos de várias áreas e que possui níveis variados de dificuldade, mas historicamente, foram os problemas matemáticos que impulsionaram esse ramo do conhecimento.

I - Problemas Históricos:

1) (Brahmagupta) Prove que a área de um quadrilátero inscritível de lados $[;a,b,c;]$ e $[;d;]$ e perímetro $[;p;]$ é dada por

$[;S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)};]$

2) (Nasir Edin) Prove que a soma de dois quadrados ímpares não pode ser um quadrado perfeito.

3) (François Viéte) Prove que num triângulo $[;ABC;]$ agudo, vale a relação:

$[; \frac{(a+b)/2}{(a-b)/2} = \frac{\tan(A+B)/2}{\tan(A-B)/2};]$

4) (Pierre de Fermat) Prove que existe uma única solução de $[;x^2 + 2 = y^3;]$ , onde $[;x;]$ e $[;y;]$ são inteiros positivos.

5) (Gottfried Leibniz) Mostre que

$[;\sqrt{6} = \sqrt{1 + i\sqrt{3}} + \sqrt{1 - i\sqrt{3}};]$

6) (John Wallis) Prove que

$[;\int_{0}^{1}(x - x^2)^n dx = \frac{(n!)^2}{2n+1}, \quad n \in N;]$

7) (Bernoulli) Exponha todos os detalhes para mostrar que a área sob a curva $[;y = x^x;]$ de $[;x = 0;]$ a $[;x ;]$ = 1 é dada pela série infinita

$[;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^n};]$

8) (Leonhard Euler) Mostre que se $[;m;]$ é uma potência de um primo, isto é, $[; m = p^{\alpha};]$ , então $[; \phi(m) = p^{\alpha}(1 - 1/p);]$ , onde $[;\phi;]$ é a "função $[;\phi;]$ de Euler".

Fonte: Boyer, Carl B. História da Matemática. Ed. Edgar Blucher, São Paulo, 1974.

II - Problemas Olímpicos:

1) Um contratorpedeiro localiza um submarino a uma distância de $[;10\ km;]$ . Nesse instante o submarino submerge e parte em curso retilíneo, mas de direção desconhecida do contratorpedeiro. A velocidade do contratorpedeiro é $[;3;]$ vezes a do submarino. Que curso deve tomar o contratorpedeiro para algum tempo depois estar sobre o submarino?

Fonte: Figueiredo, Djairo Guedes de e Neves, Aloisio Freitas. Equações Diferenciais Aplicadas.

Obs. Até hoje, não vi uma solução satisfatória desse problema, penso que é uma espiral, mas ainda não consegui provar.

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Um Caso Particular da Equação Quártica (Parte 1)

Problemas Matemáticos (Parte 1)