Membros

terça-feira, 28 de julho de 2009

Interação Gravitacional de Sólidos com Simetria Radial

Irei usar a Lei da Gravitação Universal e Integrais Triplas para deduzir uma fórmula que irá calcular a atração gravitacional de sólidos com simetria radial exerce sobre uma partícula de massa unitária.


1) Produto escalar: Sejam [;\vec{u} = (u_1,u_2,u_3);] e [;\vec{v} = (v_1,v_2,v_3);] vetores do [;\mathbb{R}^3;]. Então definimos o produto escalar desses vetores por

[;\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3;]


Usando a definição, podemos mostrar que o produto escalar dos vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v};] pode ser expresso na forma:

[;\vec{u}\cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos \theta;]

2) Coordenadas Esféricas: Um ponto [;P(x,y,z);] em coordenadas cartesianas pode ser expresso em coordenadas esféricas, ou seja [;P(\rho,\phi,\theta);], onde [;\rho;] é a distância da origem [;O;] a [;P;], logo [;\rho \geq 0;]. O ângulo [;\phi;] é o ângulo formado pela semi-reta [;OP;]e subentende-se que [;\phi;] está restrito ao intervalo [;0 \leq \phi \leq \pi;]. Finalmente, o ângulo [;\theta;] é o ângulo formado pela semi-reta [;OP' = \rho \sin \phi;] com o eixo [;x\ ;]. Sendo [;x = OP' \cos \theta;] e [;y = OP'\sin \theta;] segue que [;x = \rho \cos \theta \sin \phi;], [;y= \rho \sin \theta \sin \phi;] e [;z = \rho \cos \phi;]. Além disso, multiplicando as arestas do elemento infinitesimal na figura abaixo, segue que seu volume é dado por


[;dV = \rho^2 \sin \phi d\rho d\phi d\theta;]

3) Atração Gravitacional: Nesta seção usaremos integrais triplas para calcular a atração gravitacional que um corpo de massa [;M;] definido numa região [;Q \subset \mathbb{R}^3;] exerce sobre uma partícula de massa de unitária situada na origem.

Note que se as dimensões do sólido
[;Q;] são desprezíveis, pela Lei da Gravitação Universal segue que a força que esse sólido de massa [;M;] sobre uma partícula situada na origem é dada por

[;\vec{F} = \frac{GM}{\|\vec{R}\|^2}\vec{r};]


onde [;\vec{R};] é o vetor posição e [;\vec{r} = \vec{R}/\|\vec{R}\|;] é o vetor unitário com a mesma direção de [;\vec{F};].

Teorema 1: Suponhamos agora que o corpo [;Q;] acima tenha uma simetria em relação ao eixo [;z;] e que sua densidade em cada ponto [;P(x,y,z);] é dada pela função [;\delta(x,y,z) = \delta(\rho);], conforme figura abaixo:

Então, o módulo da força que o sólido [;Q;] exerce sobre uma partícula de massa unitária situada na origem do sistema de coordenadas é dada por

[;F_z = G\int \int_{Q} \int\cos \phi \sin \phi d\rho d\phi d\theta;]

onde [;G;] é a constante gravitacional.

Demonstração: Sendo o corpo simétrico em relação ao eixo [;z;], de modo que a soma das forças nas direções [;x\ ;] e [;y;] são nulas. Assim, a única força que agirá sobre a massa situada na origem é a componente [;F_z;] de [;\vec{F};]. Seja [;dM;] um elemento infinitesimal em torno do ponto [;P(x,y,z);]. Note que

[;\vec{R} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\quad \Rightarrow \quad \|\vec{R}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \rho;]
Mas,
[;dF_z = d\vec{F}\cdot \vec{k} = \frac{GdM}{\|\vec{R}\|^2}\vec{r}\cdot \vec{k} = \frac{GdM\cos \phi}{\rho^2} = \frac{G\delta(\rho)\cos \phi dV}{\rho^2};]

Sendo [;dV =\rho^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta;], segue que o módulo do elemento infinitesimal de força na direção do eixo [;z;] é dado por

[;dF_z = G\delta(\rho)\cos \phi \sin \phi d\rho d\phi d\theta \quad \Rightarrow;]

[;F_z = G \int \int_{Q} \int \delta(\rho)\cos \phi \sin \phi d\rho d\phi d\theta;]

Exemplo 1:
Achar a atração gravitacional do hemisfério de raio [;a;] centrado na origem sobre uma partícula de massa unitária também na origem se sua densidade é dada por [;\delta(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2};].

Resolução: Observe que o sólido é simétrico em relação ao eixo [;z;] e que [;\delta(\rho) = \sqrt{x^2 + y^2} = r = \rho \sin \phi;]. Assim,

[;F_z = G\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{a}\rho \sin^2 \phi \cos \phi d\rho d\phi d\theta = \frac{\pi a^{2}G}{3};]

Referência Bibliográfica:
1) Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica Vol. 2 - São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
2) Swokowski, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica Vol. 2 - São Paulo: McGraw-Hill, 1983.