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segunda-feira, 31 de agosto de 2009

Provas sem Palavras (Parte 7)

Apresento neste post mais uma prova sem palavras que trata da construção como régua e compasso de quatro quadrados de áreas equivalentes.

Observe que [;a;], [;b;], [;c;] e [;d;] são tais que [;a + b;] e [;c + d;] são duas cordas secantes numa circunferência cujo o centro deve ser determinado. Com calma, o leitor descobrirá alguns teoremas usados nesta demonstração.



Fonte: Roger B. Nelsen
Lewis & Clark College
Portland, OR 97219

domingo, 30 de agosto de 2009

Meu Primeiro Selo

Obrigado ao blog Tudo sobre Guppy e Aquarismos (http://guppies-guppy.blogspot.com/) pelo meu primeiro selo.

Selos Dados:

http://www.connecttado.com/
http://melhoreoseublog.blogspot.com/
http://sosfisica.blogspot.com/
http://informacaodaciencia.blogspot.com/
http://www.semprereticente.blogspot.com/
http://www.mfmatematica.blogspot.com/
http://jonasportal.blogspot.com/

Regras deste selo:

1. EXIBA A IMAGEM DO SELO "OLHA QUE BLOG MANEIRO"
2. POSTE O LINK QUE TE INDICOU
3. INDIQUE PESSOAS DE SUA PREFERÊNCIA
4. AVISE SEUS INDICADOS
5. PUBLIQUE AS REGRAS
6. CONFIRA SE OS BLOGS INDICADOS REPASSARAM OS SELOS E AS REGRAS

10 Mandamentos da Matemática


I - Começarás contagem pelo zero;

II - Derivarás e igualarás a zero;

III - Amarás o Cálculo como a ti mesmo;

IV - Não levantarás falso teorema;

V - Não cobiçarás a demonstração alheia;

VI - Honrarás [;\epsilon;] e [;\delta;];

VII - Não Matarás Aulas;

VIII - Não dividirás por zero;

IX - Usarás letras difíceis como variáveis;

X - Sujar-vos-á de giz ao escrever no quadro.

sábado, 29 de agosto de 2009

Livro de Análise e Funções Elípticas

Apresento para os meus leitores dois livros encontrados na internet. São materiais de boa qualidade e antecipadamente peço a permissão de seus autores para divulgar suas obras. Para baixá-los click nas imagens abaixo:

[;1);] Curso de Análise Real (Tamanho: [;1;] Mb, [;173;] pgs)

[;2);] Elliptic Functions (Tamanho: [;1,36;] Mb, [;403;] pgs)


sexta-feira, 28 de agosto de 2009

As 10 Expressões Matemáticas mais Influentes (Parte 1)

Apresento abaixo, a listagem das expressões matemáticas mais influentes de todos os tempos. A fonte de minhas informações é o livro "Wonders of Numbers" de Clifford A. Pickover e não sei quais foram os critérios adotados para chegar a esta listagem.

É claro que este assunto além de interessante é polêmico, pois sempre haverá comentários sobre algumas fórmulas que não estão nesta lista, por exemplo, as equações de Maxwell.


[;10^{\circ});] lugar: [;e^{i\theta} = \ cos \theta + i\sin \theta;] (fórmula de Euler - De Moivre);

[;9^{\circ});] lugar: [;f(x) = \sum c_n e^{in\pi x/L};] ([;f(x);] expandida em série de Fourier)

[;8^{\circ});] lugar: [;F = \frac{Gm_1m_2}{r^2};] (Lei da Gravitação de Newton)

[;7^{\circ});] lugar: [;P = 2\pi r;] e [;S = \pi r^2;] (Perímetro e área de um círculo de raio [;r;])

[;6^{\circ});] lugar: [;1 + e^{\pi i} = 0;] (Expressão numérica envolvendo as principais constantes)

Para ver a segunda parte (click aqui).

quinta-feira, 27 de agosto de 2009

Matemática em Selos (Parte 1)

Segue abaixo alguns selos de matemáticos de todos os tempos, além de alguns eventos importantes.

1) Matemáticos Árabes:


2) Arquimedes:

3) Hiparco:


4) Euclides:

quarta-feira, 26 de agosto de 2009

Comentários sobre a OBMEP

Ontem milhares de alunos de todas as escolas públicas, fizeram a [;5^{\underline{a}};] olimpíada brasileira de matemática das escolas públicas (OBMEP). Esta edição é uma promoção do Ministério da Educação e do Ministério da Ciência e Tecnologia, em parceria com o Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e com a Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), responsáveis pela Direção Acadêmica.

O slogan já diz tudo e é uma forma das escolas públicas avaliarem o conhecimento adquirido pelos seus alunos. Na minha época de estudos não existiam essas olimpíadas, o que mostra o grandre avanço e a grande oportunidade oferecida para os alunos do Ensino Médio ou Fundamental.

As provas priorizam o raciocínio lógico, mas devemos lembrar que os professores passam um bom tempo ensinando Álgebra Elementar aos alunos, e raramente são apresentados problemas com este enfoque.

Observando a prova da [;1^{\underline{a}};] fase, nível [;1;] de [;2008;], observei que algumas questões poderiam ser solucionadas facilmente através da Álgebra. Vejamos, por exemplo a questão [;8;], [;9;] e [;10;].

Questão 8: A região cinza na figura é um quadrado de área [;36 \ cm^2;] que corresponde a [;3/8;] da área do retângulo [;ABCD;]. Qual é o perímetro para este retângulo?
a)[;44\ cm;] b)[;46 \ cm;] c)[;48 \ cm;] d) [;50 \ cm;] e) [;52 \ cm;]

A Fig. 1 é a figura apresentada no problema. Colocando as variáveis [;a;] e [;b;], conforme a Fig. 2 e designando por [;P;] o perímetro do retângulo [;ABCD;], temos o sistema abaixo:

[;\left \{\begin{array}{cc}a^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad a = 6\\\frac{3}{8}a(a+b) = 36 \quad \Rightarrow \quad a+b = 16\end{array}\right.;]

Logo, [;P = 2(a+b) + 2a = 2\times 16 + 2\times 6 = 44 \ cm;]. Letra a).

Questão 9: Usando todo o suco que está numa jarra é possível encher [;9;] copos pequenos e [;4;] copos grandes ou então encher [;6;] copos pequenos e [;6;] copos grandes. Quantos copos grandes é possível encher usando todo o suco da jarra?
a) [;8;] b) [;9;] c) [;10;] d) [;11;] e) [;12;]

Designando por [;J;] o volume da jarra, por [;g;] o volume de um copo grande e por [;p;]o volume de um copo pequeno, obtemos o sistema nas equações [;p;]e [;q;] abaixo:

[;\left \{\begin{array}{cc}J = 9p + 4g \\J = 6p + 6g \\\end{array}\right.;]

Comparando essas equações, temos [;9p + 4g = 6p + 6g \quad \Rightarrow \quad p = (2/3)g;]. Substituindo este valor na primeira equação, segue que [;J = 6g + 4g = 10g;]. Letra c).

Questão 10: Um fazendeiro perguntou ao seu filho: Quantos pés eu posso contar quando eu estou tirando leite de uma vaca? O menino respondeu: São [;6;], sendo [;4;] da vaca e [;2;] seus. O pai então disse: Na verdade são [;9;], por que você esqueceu de contar os [;3;] do banquinho em que eu fico sentado. A seguir o pai propôs outro problema ao seu filho: Num curral há algumas pessoas, vacas e banquinhos, pelo menos um de cada. O número total de pés é [;22;] e o de cabeças é [;5;]. Quantas vacas há no curral? O menino resolveu o problema corretamente. Qual foi sua resposta?
a) [;1;] b) [;2;] c) [;3;] d) [;4;] e) [;4;]

Designando por [;x,y;] e [;z;] o número vacas, banquinhos e pessoas respectivamente no curral, temos o sistema abaixo:

[;\left \{\begin{array}{cc}4x + 3y + 2z = 22\\x + z = 5\\\end{array}\right.;]

Da segunda equação, [;z = 5 - x;] que substituido na primeira, tem-se [;2x + 3y = 12;]. Sendo [;1 \leq y \leq 4;], o único valor de [;y;], para ter um valor inteiro de [;x;] é [;y=3;], donde segue que [;x=3;] e [;z = 2;]. Letra b).