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terça-feira

Modelos de Sólidos

Apresento neste post, modelos de alguns sólidos para serem confeccionados em sala de aula. Com esses sólidos, podemos por exemplo explorar a relação de Euler:
[;V + F = A + 2;]
onde [;V;] é o número de vértices, [;F;] o número de faces e [;A;] é o número de arestas do poliedro. A vantagem deste método de confeccionar os poliedros é que não necessita desenhar os polígonos, pois basta você recortar várias cartolinas do tamanho [;A4;], colocar na impressora e imprimir os moldes. Para facilitar ainda mais, eu insiro a figura em um arquivo do Word, amplio a imagem e imprimo este arquivo. Abaixo estão as imagens de alguns poliedros.

Sólido [;1;] planificado:
Sólido [;1;] confeccionado:
Sólido [;2;] planificado:
Sólido [;2;] confeccionado:
Sólido [;3;] planificado:
Sólido [;3;] confeccionado:

Provas sem Palavras (Parte 8)

Apresento aos meus leitores uma prova sem palavras relativa a soma de PG´s infinitas. Observe a figura com atenção para compreender a demonstração.


Fonte: Roger B. Nelsen
Lewis & Clark College
Portland, OR 97219

segunda-feira

Sobre o Produto Escalar

Analiticamente o produto escalar é apresentado em Geometria Analítica nos primeiros semestres da universidade. O produto escalar dos vetores [;\vec{u}= (u_1,u_2,u_3);] e [;\vec{v}=(v_1,v_2,v_3);], denotado por [;\vec{u}\cdot \vec{v};] é definido por

[;\vec{u}\cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \quad \quad (1);]

Segue desta definição que [;\vec{u}\cdot {v} = \vec{v}\cdot \vec{u};]. Além disso, se [;\theta;] é o ângulo entre dois vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v};], então através da Lei dos Cossenos é fácil mostrar que

[;\vec{u}\cdot \vec{v} = |\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cos \theta;] com [;0 \leq \theta \leq \pi;] rad [;(2);]

Vejamos agora como podemos relacionar o produto escalar com o módulo de um vetor. Para ver isso, suponhamos que [;\vec{u} = \vec{v};] na definição acima. Assim,

[;\vec{u}\cdot \vec{u} = u_{1}^2 + u_{2}^2 + u_{3}^2 = |\vec{u}|^2;] [;(3);]

donde segue que o módulo de um vetor é igual a raiz quadrada do produto escalar deste vetor por ele mesmo.

Vejamos uma aplicação elementar do produto escalar que é deduzir a seguinte fórmula trigonométrica:

[;\cos(\beta - \alpha) = \cos \beta cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha;]

Na figura acima, [;\vec{u} = (\cos \alpha,\ \sin \alpha);] e [;\vec{v} = (\cos \beta, \ \sin \beta);] e pela propriedade [;(3);] é fácil ver que esses vetores são unitários. Assim, por [;(1);], temos

[;\vec{u}\cdot \vec{v} = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta;] [;(4);]
e pela fórmula [;(2);],
[;\vec{u}\cdot \vec{v} = cos(\beta - \alpha);] [;(5);]

De [;(4);] e [;(5);] segue o resultado. Usando o fato que cosseno é uma função par, que o seno é uma função ímpar e que o cosseno do complementar de um ângulo é igual ao seno desse ângulo e vice-versa, obtém-se as demais identidades trigonométricas.

Existem outras aplicações importantes relacionada com o produto escalar, tais como o cálculo do trabalho de uma força constante e em problemas que aparece o vetor projeção.

Encerro esse post enfatizando que na Matemática, raramente encontra-se assuntos isolados e a divisão feita em capítulos apresentada nos livros didáticos, é apenas uma estratégia para apresentar os assuntos, e que reflexões sobre temas distintos deve sempre permeiar vossas mentes.

domingo

Um Pouco Sobre Superfícies Mínimas

Em Geometria Diferencial, a curvatura gaussiana ou curvatura de Gauss de um ponto sobre uma superfície é o produto das curvaturas principais, [;k_1;] e [;k_2;] do ponto dado. É uma medida intrínsica de curvatura, isto é, seu valor depende somente de como as distâncias são medidas sobre a superfície, não da maneira como estão imersas no espaço. (Fonte: Wikipédia).

A semi-soma de [;k_1;] e [;k_2;] é chamada curvatura média da superfície neste ponto. As superfícies mínimas é definida como sendo aquelas que possuem curvatura média nula. Fisicamente, isto significa que para um determinado limite uma superfície mínima não pode ser modificada sem aumentar sua área.

Encontrar uma superfície de área mínima com borda específica e constante é um problema de cálculo variacional, conhecido como Problema de Plateau. As superfícies mínimas também podem ser caracterizadas como superfícies de área mínima para uma dada borda fixa.

Observe que uma esfera é uma “superfície mínima” no sentido de reduzir a área da superfície em relação ao volume, o que não a qualifica como uma superfície mínima no sentido usado pelos matemáticos.

Historicamente, esse assunto começa com Lagrange no século XVIII, que em sua famosa autobiografia, ele apresenta um algoritmo para o cálculo variacional. Em 1740, Euler através da rotação da catenária, ele obteve uma superfície mínima e deu o nome de "allyside" que mais tarde foi renomeado por catenóide por Plateau. (Fig. abaixo)
É interessante observar que através das bolhas de sabão é possível obter visualizações de algumas superfícies mínimas, uma vez que sua obtenção analítica é extremamente difícil envolvendo a resolução de uma EDP não-linear.

Referência Bibliográfica: Oliveira, Disney Dougla de Lima. Superfícies Mínimas Obtidas Através da Transformada de Ribaucour.