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segunda-feira

O Cálculo no Meio Rural

Além das aplicações clássicas do Cálculo, é interessante aplicar seus conceitos em problemas que surgem no meio rural, tais como os problemas de otimização, de cálculo de área e do custo de materiais para construção de um galinheiro ou cercados em geral.

Um sitiante tem sua casa situada em [;A,;] um galinheiro em [;B;], e dispõe de um riacho que segue seu o curso praticamente em linha reta. Diariamente ele sai de casa, vai ate o riacho, enche um balde de água, que leva para o galinheiro. Qual deve ser a trajetória do sitiante para que ele ande o mínimo possível na execução dessa tarefa (Ver a figura abaixo)?


Usando o teorema de Pitágoras nos dois trechos acima, o caminho do sitiante é dado por
[;l(x) = \sqrt{x^2 + 360000} + \sqrt{(1500 - x)^2 + 640000};]

Derivando esta expressão e igualando a zero, temos a solução do problema que deixo a cargo do leitor. Outros problemas interessantes apresento na lista abaixo.

1) Um suinocultor tem [;80;] porcos, pesando [;150 \ kg;]. Cada porco aumenta de peso na proporção de [;2,5 \ kg/dia;]. Gastam [;R$ 2,00;] reais por dia para manter um porco. Se o preço de venda está a [;4,00;] reais por dia e cai [;5;] centavos por dia, quantos dias o agricultor deve esperar para ter o lucro máximo?

2)
O proprietário de um pomar de maças estima que plantando [;60;] pés por hectare, cada pé de maçã adulto produzirá [;600;] maçãs por ano. Para cada árvore plantada por hectare além de [;60;] haverá um decréscimo de produção de [;12;] maçãs por ano. Quantas árvores devem ser plantadas de modo a se obter o número máximo de maçãs por ano?

3) Um fazendeiro precisa construir dois currais lado a lado, com uma cerca comum, conforme a figura abaixo. Se cada curral deve ter uma área [;A;], qual é o comprimento mínimo que ela deverá ter?

sexta-feira

Olimpíadas dos Fatos Matemáticos (Parte 2)

Na categoria de Matemática Básica recebi resoluções das questões [;1;], [;2;] e [;3;]. A categoria Matemática Superior continua aberta a participações, lembrando que o primeiro colocado receberá um mini-soroban de madeira com um pequeno manual de instruções. Para maiores informações sobre o regulamento (click aqui).

Vejamos as resoluções das questões da primeira rodada
:
1) Sejam [;C_1;] e [;C_2;] duas circunferências concêntricas de raios [;r;] e [;R;] respectivamente, com [;r \prec R;]. Os pontos [;A;], [;B;] e [;C;], distintos dois a dois, pertencem a [;C_2;] e as cordas [;AB;] e [;AC;] são tangentes a [;C_1;]. Sabendo que [;R = 5;] e [;BC = 8;], determine o raio de [;C_1;].
O triângulo [; \Delta ANB;] é retângulo em [;N;] e semelhante ao triângulo [;\Delta OMA;], porque têm os três ângulos congruentes. Assim,

[;\frac{OM}{BN} = \frac{OA}{BA} \quad \Rightarrow \quad \frac{r}{4} = \frac{5}{2MA};]

pois [;OM = r,\ BN = 4, \ OA = R = 5;] e [;BA = 2MA;]. Assim, tem-se [;MA = \frac{10}{r};]. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo [;\Delta OMA;], obtém-se a equação [;r^2 + (10/r)^2 = 5^2;], cujas soluções são [;r = 2\sqrt{5};] e [;r = 2\sqrt{5};]. Sendo [;OA/BA \prec 1;], então [;r \prec 4;], donde segue que [;r = \sqrt{5};]. Fonte: XXI OPM - Categoria B/2003.

2)
Analisando-se certa amostra de leite, verificou-se que havia adicionado água. Um litro de leite adulterado pesa [;1015 \ g;]. Calcule quantos [;ml;] de água adicionada contém [;1;] litro dessa amostra, sabendo que o leite puro pesa [;1025 \ g;] por litro e água pesa [;1000\ g;] por litro.

Note que a amostra de leite adulterado, é uma mistura de leite puro com água. A densidade é definida por [; d = \frac{m}{V};], então se [;x;] é a quantidade de água presente na amostra de leite adulterado de volume [;1000 \ ml;], a quantidade de leite puro é [;1000 - x;]. Sendo, a densidade do leite adulterado igual a [;1,015\ g/ml;], então



3) Prove que num triângulo [;ABC;] agudo, vale a relação:

[; \frac{(a+b)/2}{(a-b)/2} = \frac{\tan(A+B)/2}{\tan(A-B)/2};]

Aplicando a lei dos
senos no triangulo [;\Delta ABC;], temos:

[;\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B} \quad \Rightarrow \quad \frac{a+b}{b} = \frac{\sin A + \sin B}{\sin B};] [;\text{e} \quad \frac{a - b}{b} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin B};]
de modo que
[;\frac{a + b}{a - b} = \frac{\sin A +\sin B}{\sin A - \sin B} = \frac{2\sin[(A+B)/2]\cos[(A - B)/2]}{2\sin[(A - B)/2]\cos[(A + B)/2]};]

Aplicando a definição de tangente em um triângulo retângulo, segue o resultado. Solução enviada por Gustavo Oliveira.

Vejamos agora as questões desta etapa:

1) Resolva a equação [;x^4 - 2x^2 + 5x - 6 = 0;].
2) Quanto tempo após o meio dia, o ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos formam um ângulo de [;90^{\circ};].
3) Seja o número complexo [;z = x + iy;]. Prove que [;\mid x + y \mid \leq \sqrt{2} \mid z \mid;].
4) Na figura abaixo [;AD = 16;], [;AC = 15;] e [;BD = 12;]. Determine a área do [;\Delta ABE;].