A Interpolação Polinomial (Parte 1)

Consideremos pontos distintos: , chamados nós da interpolação, e os valores de nesses pontos: . A forma de interpolação de que veremos a seguir consiste em se obter uma determinada função tal que:

Neste texto, consideraremos que pertence à classe das funções polinomiais. Além disso, observamos que existem outras formas de interpolação polinomial como, por exemplo, a fórmula de Taylor e a interpolação por polinômios de Hermite, para as quais as condições de interpolação são outras.

A vantagem de usar os polinômios é que eles são facilmente computáveis, suas derivadas e integrais são novamente polinômios, suas raízes podem ser encontradas com relativa facilidade etc. Portanto, é vantajoso substituir uma função complicada por um polinômio que a represente. Além disso, temos o teorema de Weiestrass que afirma: "Toda função contínua pode ser arbitrariamente aproximada por um polinômio".

A simplicidade dos polinômios permite que a aproximação polinomial seja obtida de vários modos, entre os quais podemos citar: Interpolação, métodos dos mínimos quadrados, osculação, mini-max, etc. Tais métodos são usados como uma aproximação para uma função , principalmente, nas seguintes situações:

Não conhecemos a expressão analítica de , isto é, sabemos apenas seu valor em alguns pontos (essa situação ocorre muito frequentemente na prática quando se trabalha com dados experimentais) e necessitamos manipular como, por exemplo, calcular seu valor num ponto, sua integral num determinado intervalo etc.

A função é extremamente complicada e de difícil manejo. Então, as vezes, é interessante sacrificar a precisão em benefício da simplificação dos cálculos.

Definição: Dados os pontos ,chama-se interpolação polinomial o processo de achar um polinômio de grau menor ou igual a , tal que para .

Surgem aqui as perguntas: existe sempre um polinômio que satisfaça estas condições? Caso exista, ele é único? As respostas destas perguntas serão vistas no próximo post juntamente com a fórmula de interpolação dada por Lagrange.

Euler e o Quadrilátero Convexo

Para o grande matemático Leonhard Euler não houve área da Matemática em que ele não usou o seu intelecto e para mostrar o seu poder de raciocínio, vejamos um teorema de Geometria Plana que Euler demonstrou em seu livro Introductio in analysin infinitorum de . Para saber mais sobre a vida e a obra (click aqui).

Teorema: (Euler) Dado qualquer quadrilátero convexo (figura acima) com diagonais e . Se um paralelogramo é completado sobre os lados e formando o paralelogramo e se os dois pontos e são ligados formando o segmento , então

Demonstração: Construa de modo que e . Desde que segue que . Em seguida, baixe as linhas , e Desde que segue que . Em seguida, baixe as linhas , e veja os paralelogramos e com diagonais , e , conforme a figura abaixo.


Em seguida, Euler cita a "propriedade do paralelogramo", dada por

em

e

em

Estas identidades são consequências diretas da Lei dos Cossenos, pois sendo os ângulos e , segue que , de modo que

Somando essas duas equações obtemos a equação . Isolando em e substituindo em , temos:

No paralelogramo , temos:

Fazendo , segue que

donde segue o resultado.

Euler apresenta corolários que apresento abaixo cuja demonstração são cálculos rotineiros.

Corolário 1: Se o quadrilátero é um paralelogramo, então e assim, a soma dos lados é exatamente a soma dos quadrados das diagonais.

Observação: Este mesmo resultado continua válido se é um retângulo, losando ou quadrado.

Corolário 2: A soma dos quadrados dos lados de um quadrilátero é maior ou igual a soma dos quadrados das diagonais, isto é,

Corolário 3: Sejam e os pontos médios das diagonais e respectivamente no quadrilátero , então e

Referência: Sandifer, Ed. How Euler Did It.