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A Interpolação Polinomial (Parte 1)

Consideremos [;n+1;] pontos distintos: [;x_0,x_1,\ldots,x_n;], chamados nós da interpolação, e os valores de [;f(x);] nesses pontos: [;f(x_0),f(x_1),\ldots,f(x_n);]. A forma de interpolação de [;f(x);] que veremos a seguir consiste em se obter uma determinada função [;g(x);] tal que:

[;\begin{cases}g(x_0) &= f(x_0)\\g(x_1) &= f(x_1)\\g(x_2) &= f(x_2)\\\ldots \quad \quad \ldots\\g(x_n) &= f(x_n)\\\end{cases};]

Neste texto, consideraremos que [;g(x);] pertence à classe das funções polinomiais. Além disso, observamos que existem outras formas de interpolação polinomial como, por exemplo, a fórmula de Taylor e a interpolação por polinômios de Hermite, para as quais as condições de interpolação são outras.

A vantagem de usar os polinômios é que eles são facilmente computáveis, suas derivadas e integrais são novamente polinômios, suas raízes podem ser encontradas com relativa facilidade etc. Portanto, é vantajoso substituir uma função complicada por um polinômio que a represente. Além disso, temos o teorema de Weiestrass que afirma: "Toda função contínua pode ser arbitrariamente aproximada por um polinômio".

A simplicidade dos polinômios permite que a aproximação polinomial seja obtida de vários modos, entre os quais podemos citar: Interpolação, métodos dos mínimos quadrados, osculação, mini-max, etc. Tais métodos são usados como uma aproximação para uma função [;f(x);], principalmente, nas seguintes situações:

[;1);] Não conhecemos a expressão analítica de [;f(x);], isto é, sabemos apenas seu valor em alguns pontos [;x_0,x_1,x_2,\ldots;] (essa situação ocorre muito frequentemente na prática quando se trabalha com dados experimentais) e necessitamos manipular [;f(x);] como, por exemplo, calcular seu valor num ponto, sua integral num determinado intervalo etc.

[;2);] A função [;f(x);] é extremamente complicada e de difícil manejo. Então, as vezes, é interessante sacrificar a precisão em benefício da simplificação dos cálculos.

Definição: Dados os pontos [;(x_0,f(x_0)), \ (x_1,f(x_1)) \,\ldots, (x_n,f(x_n));],chama-se interpolação polinomial o processo de achar um polinômio [;P_n(x);] de grau menor ou igual a [;n;], tal que [;f(x_k) = P_n(x_k);] para [;k=0,1,2,\ldots,n;].

Surgem aqui as perguntas: existe sempre um polinômio [;P_n(x);] que satisfaça estas condições? Caso exista, ele é único? As respostas destas perguntas serão vistas no próximo post juntamente com a fórmula de interpolação dada por Lagrange.

Euler e o Quadrilátero Convexo

Para o grande matemático Leonhard Euler não houve área da Matemática em que ele não usou o seu intelecto e para mostrar o seu poder de raciocínio, vejamos um teorema de Geometria Plana que Euler demonstrou em seu livro Introductio in analysin infinitorum de [;1748;]. Para saber mais sobre a vida e a obra (click aqui).

Teorema: (Euler) Dado qualquer quadrilátero convexo [;ABCD;] (figura acima) com diagonais [;AC;] e [;BD;]. Se um paralelogramo é completado sobre os lados [;AB;] e [;BC;] formando o paralelogramo [;ABCE;]e se os dois pontos [;D;] e [;E;] são ligados formando o segmento [;DE;], então

[;AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2 + DE^2;]

Demonstração: Construa [;F;] de modo que [;CF \ \parallel \ AD;] e [; BF \ \parallel \ ED;]. Desde que [;BC = AE;] segue que [;\triangle CBF \simeq \triangle AED;]. Em seguida, baixe as linhas [;AF;], [;DF;] e [;EF;]Desde que [;BC = AE;] segue que [;\triangle CBF \simeq \triangle AED;]. Em seguida, baixe as linhas [;AF;], [;DF;] e veja os paralelogramos [;ADCF;] e [;BDEF;] com diagonais [;AC;], [;DF;] e [;BE;], [;DF;] conforme a figura abaixo.


Em seguida, Euler cita a "propriedade do paralelogramo", dada por

[;2AD^2 + 2CD^2 = AC^2 + DF^2;] [;\quad;] em [;\quad;] [;ADCF \quad \quad (1);]
e
[;2BD^2 + 2DE^2 = BE^2 + DF^2;] [;\quad;] em [;\quad;] [;BDEF \quad \quad (2);]

Estas identidades são consequências diretas da Lei dos Cossenos, pois sendo os ângulos [;A\hat{D}C;] e [;D\hat{C}F;], segue que [;\cos(D\hat{C}F) = - \cos(A\hat{D}C);], de modo que

[;\begin{cases}DF^2 &= AD^2 + CD^2 + 2AD\cdot DC\cos(A\hat{D}C)\\AC^2 &= AD^2 + CD^2 - 2AD\cdot CD\cos(A\hat{D}C)\\\end{cases};]

Somando essas duas equações obtemos a equação [;(1);]. Isolando [;DF^2;] em [;(2);] e substituindo em [;(1);], temos:

[;2AD^2 + 2CD^2 = 2BD^2 + 2DE^2 + AC^2 - BE^2 \quad \quad (3);]

No paralelogramo [;ABCE;], temos:

[;2AB^2 + 2BC^2 = AC^2 + BE^2 \quad \quad (4);]

Fazendo [;(3) + (4);], segue que

[;2AD^2 + 2CD^2 + 2AB^2 + 2BC^2 = 2BD^2 + 2DE^2 + 2AC^2;]

donde segue o resultado.

Euler apresenta [;3;] corolários que apresento abaixo cuja demonstração são cálculos rotineiros.

Corolário 1: Se o quadrilátero [;ABCD;] é um paralelogramo, então [;DE = 0;] e assim, a soma dos lados é exatamente a soma dos quadrados das diagonais.

Observação: Este mesmo resultado continua válido se [;ABCD;] é um retângulo, losando ou quadrado.

Corolário 2: A soma dos quadrados dos lados de um quadrilátero é maior ou igual a soma dos quadrados das diagonais, isto é,

[;AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 \quad \geq \quad AC^2 + BD^2;]

Corolário 3: Sejam [;P;] e [;Q;] os pontos médios das diagonais [;AC;] e [;BD;] respectivamente no quadrilátero [;ABCD;], então [;PQ = DE/2;] e

[;AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = AC^2 + BD^2 + 4PQ^2;]

Referência: Sandifer, Ed. How Euler Did It.