Membros

sexta-feira

A Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Esta desigualdade conhecida também por desigualdade de Cauchy ou desigualdade de Schwarz é muito útil e aparece em vários contextos da Matemática, tais como em Álgebra Linear aplicando-se à vetores, em Análise ela surgiu nas séries infinitas e no produto de integrais, e na Teoria de Probabilidades a desigualdade de Cauchy-Schwarz aplica-se na variância e na covariância.

Esta desigualdade para somas foi publicada por Augustin Cauchy [;(1821);], enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi primeiro estabelecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky [;(1859);] e redescoberta por Hermann Amandus Schwarz [;(1888);]. Para ver uma prova sem palavras desta desigualdade no [;\mathbb{R}^2;], (click aqui).

Desigualdade de Cauchy-Schwarz: Para quaisquer vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v};] de um espaço vetorial com produto interno, temos

[;\mid \vec{u}\cdot \vec{v} \mid \leq \mid \mid \vec{u}\mid \mid \ \mid \mid \vec{v} \mid \mid ;]

e a igualdade é válida se e somente se os vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v};] são linearmente dependentes.

Essa desigualdade para somas foi publicada por Augustin Cauchy [;(1821);], enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi primeiro estabelecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky [;(1859);] e redescoberta por Hermann Amandus Schwarz [;(1888);].

Demonstração: Uma prova clássica é considerar a função [;f(t) = \mid \mid \vec{u} - t\vec{v} \mid \mid^2;] para [; t \in \mathbb{R};]. Note que [;f(t) \geq 0;] para qualquer valor de [;t;]. Além disso, pela propriedade de produto interno, temos

[;f(t) = (\vec{u} - t\vec{v})\cdot (\vec{u} - t\vec{v}) = \mid \mid \vec{u}\mid \mid - 2\vec{u}\cdot \vec{v}t + \mid \mid \vec{v} \mid \mid t^2 \geq 0;]

Sendo [;f;] uma função quadrática não-negativa, segue que o discriminante [;\Delta \leq 0;] ou seja,
[;\Delta = (2\vec{u}\cdot \vec{v})^2 - 4\mid \mid \vec{u} \mid \mid \ \mid \mid \vec{v}\mid \mid \leq 0;]

donde segue o resultado. Da definição de linearidade de dois vetores, a segunda parte segue os mesmos passos acima.

Vejamos algumas aplicações desta importante desigualdade.

[;1);] Prove a desigualdade triangular: [;\mid \mid \vec{u} + \vec{v} \mid \mid \leq \mid \mid \vec{u} \mid \mid + \mid \mid \vec{v} \mid \mid;].

Demonstração:

[;\mid \mid \vec{u} + \vec{v} \mid \mid^2 = (\vec{u} + \vec{v})\cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \mid \mid \vec{u} \mid \mid^2 + 2\vec{u}\cdot \vec{v} + \mid \mid \vec{v} \mid \mid^2;]

Mas, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, [;\mid \vec{u}\cdot \vec{v} \mid \leq \mid \mid \vec{u}\mid \mid \ \mid \mid \vec{v} \mid \mid ;], de modo que

[;\mid \mid \vec{u} + \vec{v} \mid \mid^2 \leq \mid \mid \vec{u} \mid \mid^2 + 2\mid \mid \vec{u}\mid \mid \cdot \mid \mid \vec{v}\mid \mid+ \mid \mid \vec{v} \mid \mid^2 = (\mid \mid \vec{u}\mid \mid + \mid \mid \vec{v}\mid \mid)^2;]

donde segue o resultado.

2) Prove a desigualdade [;(x_1+ \ldots + x_n)^2 \leq n(x_{1}^{2}+\ldots + x_{n}^{2});], sendo [;x_1,\ldots x_n \in \mathbb{R};].

Resolução: Basta aplicar [;\vec{u} = (x_1,\ldots,x_n);] e [;\vec{v}=(1,\ldots,1) \in \mathbb{R}^n;]na desigualdade de Cauchy-Schwarz acima. Outras aplicações serão apresentadas futuramente.

22 comentários:

  1. Só um correção: A igualdade é válida quando u e v são LD.

    ResponderExcluir
  2. Professor, eu acho mais claro demonstrar essa desigualdade pelo cosseno da diferença. Pelo menos foi assim que eu me convenci dela.

    ||u|| ||v|| >= ||u.v||

    Pegamos o u.v:
    u.v = ux.vx + uy.vy
    Mas, ux = ||u|| cos alpha, uy = ||u|| sen alpha, vx = ||v|| cos beta e vy = ||v|| sen beta.
    Subistituindo, temos:
    u.v = ||u||.||v||cos alpha.cos beta + ||u||.||v||sen alpha.sen beta
    u.v = ||u||.||v||(cos alpha.cos beta + sen alpha.sen beta)
    u.v = ||u||.||v||cos (alpha - beta)

    Como o máximo valor do módulo do cosseno é 1, então:
    ||u|| ||v|| >= ||u.v||

    É isso.

    ResponderExcluir
  3. Os dois caminhos são equivalentes. A demonstração que eu apresentei aparece na maioiria dos livros de Análise, por isso eu preferi ela. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

    ResponderExcluir
  4. ótimo seu blog Professor, me ajudou em muitas coisas que lendo varios livros ainda nao estavam claras. Teria como voce me ajudar com o seguinte problema?

    Se alfa denota um ângulo entre dois vetores em Rn: A = (1,1,...,1) e B = (1,2,...n). Encontre o valor limite de alfa quando n--->infinito.

    desde já obrigada.

    ResponderExcluir
  5. [;A\cdot B = 1 + 2+\ldots + n = n(n+1)/2;]. Mas,

    [;|A| = \sqrt{n};] e [;|B| = \sqrt{1^2 + 2^2 + \ldots + n^2} = \sqrt{n(n+1)(2n+1)/6};]

    Assim,

    [;\lim_{n \to \infty}\frac{A\cdot B}{|A||B|} = \ldots;]

    Os detalhes eu deixo para você terminar. Obrigado pela visita e volte sempre.

    ResponderExcluir
  6. Seu post me ajudou bastante, mas o comentário do João Felipe que me fez entender mesmo a desigualdade. Muito obrigada!

    ResponderExcluir
  7. Olá Prof.
    O Sr. poderia me dar um dica de como usar a desigualdade de Cauchy Schwarz para mostrar que se x,y,z > 0 então
    (x/y)^2 + (y/z)^2 + (z/x)^2 >= (y/x) + (z/y) + (x/z)?
    Infelizmente não estou conseguindo perceber que "jogada" matemática ou que manipulação usar. Desde já agradeço.

    ResponderExcluir
  8. Olá xará: preciso demonstrar que: //x-z//<=//x-y// + //y-z//. o livro do Rudim diz que basta substituir x por x-y e y por y-z. Mas não consegui demonstrar. O sr pode me ajudar? Prof. paulo Sergio de oliveira-Itajubá,mg. e1/2: paullus_nte48@yahoo.com.br

    Obrigado.

    ResponderExcluir
  9. //x +y//<=//x// + //y//
    fazendo x = x-y e y = y -z, vem:

    //x - y + y - z // = //x - y// + //y - z//.

    assim: // x - z// = //x-y// + //y-z//.

    simples assim????

    ResponderExcluir
  10. Claro que sim. Realmente basta usar a desigualdade triangular.

    |x - z| = |(x - y) + (y - z)| <= |x - y| + |y - z|

    Retirei a linguagem latex, para melhor visualização. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

    ResponderExcluir
  11. Nesta etapa

    //x - y + y - z // = //x - y// + //y - z//

    o correto é colocar o sinal de menor igual para que tudo fique correto.

    //x - y + y - z // <= //x - y// + //y - z//

    ResponderExcluir
  12. e para demonstrar que /x.y/ <= //x//.//y//
    substituí pelos somatórios de cada um://x// e //x// e coloquei todos num só somatório. será que pode fazer assim?

    ResponderExcluir
  13. Usando somatórios, sugiro que leia este excelente post escrito pelo amigo Américo Tavares do blog Problemas|Teoremas:

    http://problemasteoremas.wordpress.com/2008/08/18/desigualdade-de-cauchy-schwarz/

    ResponderExcluir
  14. Professor, pq //alfax//= /alfa/.//x//.

    pq alfa só tem uma barra e x tem duas?

    demosntrei, mas acho q está errado. o sr pode me ajudar de novo?

    ResponderExcluir
  15. prof gostaria de saber como se pode provar o teorema de Pitágoras usando a desigualdade triangular..

    ResponderExcluir
  16. Olá Ana Paula, já apresentei 10 provas do teorema de Pitágoras sem o uso da desigualdade de Cauchy-Schwarz. Através deste teorema, desconheço a demonstração.

    ResponderExcluir
  17. minha professora mandou considerar W=u - .v/norma{v}, e w , u e v são vetores. ela apresentou essa equação e começou a demostrar? o professor pode me esclarecer de onde surgiu isso?

    ResponderExcluir
  18. A sua pergunta tem que ser mais específica. Como você mesmo disse, "apresentou essa tequação e começou a demonstrar". Demonstrar o quê?

    ResponderExcluir
  19. Como resolveria então u=(4, -1, 2) e v=(-3, 2, -2)
    |u.v|<|u||v| ?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. |u.v| = |4.(-3) + (-1).2 + 2.(-2)| = |-18| = 18,
      |u| = sqrt[4^2 + (-1)^2 + 2^2] =sqrt[21]
      |v| = sqrt[(-3)^2 + 2^2 + (-2)^2] =sqrt[17]

      É claro que 18 < sqrt[21].sqrt[17]

      Obrigado pelo comentário e volte sempre.

      Excluir
  20. Porquê delta é < ou = 0?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Nos passos aneriores concluímos que a função quadrática f > 0 ou igual a zero. Note que se f > 0, significa que ela não intercepta o eixo x e portanto não tem raízes reais. Mas, em termos de [;\Delta;], isto significa que ele é menor que zero. O mesmo raciocínio vale se f apenas tocar no eixo x. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

      Excluir