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A Desigualdade de Erdos-Mordell

Este problema que apresentarei foi proposto pelo matemático Paulo Erdos, na revista American Mathematical Montly em [;1935;] e resolvido por I. J. Mordell e D.F.Borrow em [;1937;]. Estas demonstrações não eram muito simples, por isso os matemáticos continuaram na busca de uma prova elementar. Em [;1957;] Kazarinoff e em [;1958;] Bankoff descobrem uma demontração simples. Atualmente existem mais de [;20;] demonstrações diferentes desta desigualdade.

Desigualdade de Erdos-Mordell: Seja [;ABC;] um triângulo e [;M;] um ponto interior. Sejam [;x = AM;], [;y = BM;] e [;z = CM;]. Se as distâncias do ponto [;M;]aos lados [;BC;], [;CA;] e [;AB;] são denotados por [;p;], [;q;] e [;r;] respectivamente, então

[;x + y + z \geq 2(p+q+r);]

Demonstração: Considere a figura acima onde a distância do ponto [;A;] e [;BC;] será denotada por [;h_a;]. Assim,

[;S =\frac{ah_a}{2} \quad \Rightarrow \quad ah_a = 2S = ap + bq + cr;]

Sendo [;h_a \leq p + x;]
, segue que

[;a(p + x) \geq ah_a = ap + bq + cr \quad \Rightarrow \quad ax \geq bq + cr \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{bq}{a} + \frac{cr}{a} \quad \quad (1);]

De forma análoga, temos:

[; y \geq \frac{pb}{c} + \frac{ra}{c} \quad \quad (2);] e [;z \geq \frac{qa}{b} + \frac{pc}{b} \quad \quad (3);]

Somando [;(1), \ (2);] e [;(3);] membro a membro, segue que

[;x + y + z \geq p\biggl(\frac{c}{b} + \frac{b}{c}\biggr) + q\biggl(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}\biggr) + r\biggl(\frac{a}{c} + \frac{c}{a}\biggr);]

Mas, pela desigualdade aritmética-geométrica,

[;\biggl(\frac{c}{b} + \frac{b}{c}\biggr) = 2\biggl(\frac{c}{b} + \frac{b}{c}\biggr)\frac{1}{2} \geq 2\sqrt{\frac{c}{b}\cdot \frac{b}{c}} = 2;]

Analogamente, a desigualdade aplica-se para os outros termos. Logo,

[;x + y + z \geq 2(p + q + r);]

6 comentários:

  1. Não é verdade que de maneira análoga a obtenção de (1) iríamos obter (2) e (3). O que invalida a demonstração como todo

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  2. As expressões (2) e (3), segue sim por permutações cíclicas, de modo que o resultado é válido.

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  3. Concordo com vc, Paulo. Porém, na seguinte passagem, há um erro:
    ax >= bq+cr -> x >= bq/a + [red]ar/c[/red]

    O correto seria:
    ax >= bq+cr -> x >= bq/a + [blue]cr/a[/blue]


    É isso aí!!!

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  4. Obrigado Hun pela perspicácia. Volte sempre!

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  5. Hello professor,
    I have question:given lengths of sides of a triangle ABC. Is there any closed form expression the minimum of PA+PB+PC, where P is a point in the plane of the triangle. Point P is called Fermat point.

    Thanks,
    Siva Nagi

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  6. boa demonstração. a única confusão que me vem é o processo de analogia para encontrar as expressões (2) e (3). São precisamente os mesmos passos para achar (1)?

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