Dimensionando uma Chaminé

Alguns dizem que não vê as aplicações da Matemática e que esse ramo do conhecimento é muito confuso ou é uma coleção de fórmulas que tem que ser decorada para ir bem nas provas.

Pensando nisso, enquanto eu lecionava Geometria Analítica pensei como poderíamos usar o conceito de plano e cilindro em alguma aplicação.

Surgiu a idéia de dimensionar uma chaminé a partir de uma chapa metálica retangular. Uma chaminé desse tipo é o resultado da interseção de um plano inclinado com um cilindro. Antes de continuar com a modelagem matemática deste problema é interessante observar que o problema de cortar um tecido para fazer a manga de uma camisa admite a mesma solução.

Matematicamente, queremos é achar uma "curva guia" que irá nos conduzir num corte perfeito da chapa para gerar um cilindro seccinado por plano inclinado, cuja inclinação é a mesma de um telhado para que haja um encaixe perfeito. Note que na imagem acima, a chaminé está de cabeça para baixo.

Para modelar o problema, considere o sistema cartesiano abaixo, ilustrando os pontos importantes para determinar a equação do plano. Note que esse plano é perpendicular ao plano , de modo que para achar sua equação basta determinar a equação da reta neste plano que passa pelos pontos e .

Sendo o coeficiente angular dessa reta dado por , segue que a equação do plano é

Por outro lado, a equação do plano é ou parametricamente, temos

e por comodidade, escolhemos o intervalo para variar o ângulo . Assim, para obter a curva guia, na placa metálica de comprimento e altura maior que , substituimos em para obter

Note que e . Portanto, para traçar a curva guia, divide a chapa retangular de comprimento em ou partes iguais e calcule para variando de a ou de a radianos.

Para encerrar, é interessante fazer uma simulação de um modelo de chaminé em cartolina seguindo os passos acima.