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Fatos da Média Harmônica

Sejam [;x_1,x_2,\ldots,x_n;], [;n;] números reais positivos. Definimos a média harmônica desses números, indicada por [;MH(x_1,\ldots,x_n);] como sendo a razão entre o número de termos pela soma dos inversos dos termos, ou seja:

[;MH(x_1,\ldots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\ \ldots\ \frac{1}{x_n}};]

Para o caso em que há [;2;] termos, temos:

[;MH(x_1,x_2) = \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}} = \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2};]

Vejamos algumas propriedades interessantes da média harmônica de dois números.

[;1^{\underline{a}});]Propriedade: Se [;a;], [;b;] e [;c;] são três números reais positivos tal que [;\frac{a-b}{b-c} = \frac{a}{c};]. Então, [;b;] é a média harmônica de [;a;] e [;c;].

De fato, isolando [;b;] nesta equação, temos:



[;2^{\underline{a}});] Propriedade: A média harmônica de dois números [;x_1;] e [;x_2;] satisfaz a relação [;MG^2 = MA \cdot MH;], onde [;MA;] e [;MG;] são as médias aritmética e geométrica desses números.

De fato,
[;MH = \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2} = \frac{(\sqrt{x_1x_2})^2}{\frac{x_1 + x_2}{2}} = \frac{MG^2}{MA};]

[;3^{\underline{a}});] Propriedade: A média harmônica é a menor ou igual a média geométrica que é menor ou igual a média aritmética, ou seja, [;MH \leq MG \leq MA;].

De fato,
[;\biggl(\frac{1}{\sqrt{x_1}} - \frac{1}{\sqrt{x_2}} \biggr)\ \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\ \geq \frac{2}{MG} \quad \Rightarrow \quad MH = \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}}\ \leq MG;]

a outra desigualdade está provada no post Duas Médias (Parte 1) listada abaixo.

[;4^{\underline{a}});] Propriedade: Todo termo na série harmônica [;1 + 1/2 + 1/3 + \ldots;] é a média harmônica entre o termo precedente e o termo seguinte.

De fato, sejam os termos [;1/(n-1), \ 1/n;] e [;1/(n+1);]. Assim,

[;MH(\frac{1}{n-1},\frac{1}{n+1}) = \frac{2}{\frac{1}{1/(n-1)} + \frac{1}{1/(n+1)}} = \frac{2}{n-1 + n + 1} = \frac{1}{n};]

Observação:
Deve ser por isso que esta série recebeu esse nome.


Construindo a Média Harmônica: Dados os números [;a;] e [;b;], podemos construir a média harmônica desses números do seguinte modo. Construimos um semi-círculo de hipotenusa [;AB = MA;] (média aritmética desses números). Com um compasso de abertura igual a média geométrica desses números e com a ponta em [;A;], construímos o segmento [;AC = MG;], conforme a figura acima. Segue que [;AD;] é a média harmônica de [;a;] e [;b;], sendo [;D;] o pé da perpendicular baixada por [;C;].

De fato, sendo [;\triangle ADC \sim \triangle ABC;], segue que

[;\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} \quad \Rightarrow \quad AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{MG^2}{MA} = MH;]

pela [;2^{\underline{a}});] propriedade.


Resolução Geométrica do Problema das Torneiras: Uma torneira [;T_1;] enche um tanque de volume [;V;] em [;t_1;] horas e a torneira [;T_2;], enche o mesmo tanque em [;t_2;] horas. Em quanto tempo as duas torneiras enchem o tanque?

Vejamos inicialmente a solução algébrica. Seja [;Q_1;] a vazão da torneira [;T_1;], ou seja, [;Q_1 = V/t_1;]. Analogamente, para a torneira [;T_2;], [;Q_2 = V/t_2;]. Abrindo ao mesmo tempo as duas torneiras, segue que

[;Q = Q_1 + Q_2 \quad \Rightarrow \quad \frac{V}{t} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{1}{2}\cdot MH(t_1,t_2);]

No caso particular, em que [;t_1 = 12\ h;] e [;t_2 = 6\ h;], temos [;t = 1/(1/12 + 1/6) = 4 \ h;]. Podemos resolver este mesmo problema geometricamente conforme a figura acima em que [;AB = 12 \ h;], [;CD = 8\ h;] e a solução é o comprimento de [;EF = 4\ h;]. Deixo o desafio para o leitor, provar este curioso resultado.

Gostará de ler também:
- Duas Médias (Parte 1);
- Duas Médias (Parte 2);
- A área do Triângulo Através de suas Alturas;

5 comentários:

  1. Prof. Paulo Sérgio

    Felicito-o pela variedade de temas que tão bem trata neste seu blog, pela ligação que faz de assuntos aparentemente diferentes, o que pressupõe grandes conhecimentos teóricos, aliada, de resto, a uma elevada capacidade de concretização e motivação.

    Por exemplo, nunca pensei que o problema das torneiras fosse um mero caso particular de um conceito teórico mais geral, como o exposto.

    Hoje, vim aqui, por ver este seu post no 1.º número do Carnaval da Matemática "matematica feliz".

    Abraços

    Américo Tavares

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  2. gostaria de saber se há relação entre e média harmônica e a hamonia musical??

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  3. Tem um excelente trabalho do Pedro Malagutti e Juliana Pimentel sobre a Matemática e a Música neste link

    http://www.dm.ufscar.br/~dplm/TGMatematicaMusica.pdf

    Abraços e volte sempre!

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  4. Bom dia!

    O senhor nos deixou um desafio e eu não estou conseguindo chegar no resultado esperado. Sempre acabo encontrando 48/5. Será que poderia me mostrar o caminho certo. Obrigada pela sua ajuda.


    Podemos resolver este mesmo problema geometricamente conforme a figura acima em que , e a solução é o comprimento de . Deixo o desafio para o leitor, provar este curioso

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  5. Cara leitora. Acredito que você está no caminho certo, o que está havendo é que na figura CD = 8h e logo abaixo t2 = 6h, por isso que você não está conseguindo resolver o problema. Irei corrigir a figura o mais breve possível.

    Assim, para solucionar o desafio, basta usar semelhança de triângulos. Seja EF = x, AB = 12, CD = 6, AC = l e EC = y. Verifique essas relações: x/12 = y/l e (l - y)/l = x /6, donde segue que x = 4h.

    Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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