FATOS MATEMÁTICOS: A Integral Definida e o Limite de Somas

domingo, 24 de janeiro de 2010

A Integral Definida e o Limite de Somas

O conceito de integral definida pode ser motivado pela consideração da área delimitada pela curva $[;y=f(x);]$ , o eixo $[;x\ ;]$ e as ordenadas em $[;x=a;]$ e $[;x=b;]$ . Pode-se, entretanto, formular a definição sem apelar para a geometria.

Na figura ao lado, subdividimos o intervalo $[;\[a,b\];]$ em $[;n;]$ subintervalos, por meio dos pontos $[;x_i;]$ , $[;i=1,2,3,\ldots;]$ escolhidos arbitrariamente. Em cada um dos novos intervalos $[;(a,x_1);]$ , $[;(x_1,x_2),\ldots,(x_{n-1},b);]$ e formemos a soma

$[;f(\xi_1)(x_1 - a) + f(\xi_2)(x_2 - x_1) + \ldots + f(\x_n)(b - x_{n-1});]$

Fazendo $[;a = x_0;]$ , $[;b = x_n;]$ e $[;x_k - x_{k-1} = \Delta x_k;]$ , podemos escrever

$[;\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)(x_k - x_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k \quad \quad (1);]$

Geométricamente, esta soma representa a área total de todos os retângulos na figura acima. Aumentando agora o número $[;n;]$ de subdivisões, de modo que cada $[;\Delta x_k \to 0;]$ . Se a soma $[;(1);]$ tender para um limite que não dependa do modo de subdivisão, temos a definição de integral definida de $[;f;]$ de $[;a;]$ a $[;b;]$ , ou seja:

$[;\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k \quad \quad (2);]$

Neste caso, $[;\[a,b\];]$ é chamado de intervalo de integração e a função $[;f(x)dx;]$ é o integrando. É possível provar que se a função $[;f;]$ é contínua para $[;a \leq x \leq b;]$ , então o limite em $[;(2);]$ existe e dizemos que esta função é integrável em $[;\[a,b\];]$ .

Existem várias propriedades da integral definida que se encontra em qualquer livro texto. Vejamos um teorema simples, muito útil para o cálculo de alguns limites de soma.

Teorema: Se $[;f(x);]$ é contínua em $[;\[0,1\];]$ , então

$[;\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}f\biggl(\frac{k}{n}\biggr) = \int_{0}^{1}f(x)dx \quad \quad (3);]$

Demonstração: Sendo por hipótese, $[;f(x);]$ contínua, o limite existe independentemente do modo de subdividir o intervalo $[;\[0,1\];]$ . Assim, dividindo o intervalo $[;\[0,1\];]$ em $[;n;]$ partes iguais de comprimento $[;\Delta x = 1/n;]$ e fazendo $[;\xi_k = k/n;]$ , $[;k = 1,2,\ldots, n;]$ , segue da expressão $[;(2);]$ que

$[;\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})\frac{1}{n} = \int_{0}^{1}f(x)dx;]$

que é o resultado desejado.

Exemplos:

$[;1) \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k + n} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n\biggl(\frac{k}{n} + 1\biggr)} = \int_{0}^{1}\frac{1}{1 + x}dx = \ln 2;]$

$[;2) \lim_{n \to \infty} \sum_{k =n}^{2n} \frac{1}{k} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+n} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\biggl(\frac{k}{n} + 1\biggr)n};]$
ou seja,

$[;\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k} = \lim_{n \to \infty}\biggl[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{k/n + 1} + \frac{1}{n}\biggr] = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x}dx = \ln 2;]$

$[;3);]$ Seja $[;f(x) = \sin(tx);]$ . Assim,

$[;\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}f(\frac{k}{n}) \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sin(\frac{kt}{n}) = \int_{0}^{1}\sin(tx)dx = \frac{1 - \cos t}{t};]$

$[;4) \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2}\frac{n}{\biggl[1 + \frac{k^2}{n^2} \biggr]} = \int_{0}^{1}\frac{1}{1 + x^2}dx = \frac{\pi}{4};]$

Exercício: Use logaritmos e mostre que