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domingo, 17 de janeiro de 2010

A Mediana de um Triângulo

Mediana é um segmento de reta ligando o vértice de um triângulo ao ponto médio do lado oposto. Assim, na figura acima, os segmentos [;AE;], [;BF;] e [;CD;] são as medianas do triângulo [;ABC;]. É possível demonstrar que elas interceptam-se em um único ponto chamado baricentro e representado na figura por [;G;].

Mostraremos agora que [;BG = 2GF;]. Para isso, foi construído a partir do vértice [;C;] uma reta paralela a mediana [;AE;] interceptando o prologamento de [;BF;] em [;H;]. Assim, pelo caso [;ALA;], temos [;\Delta AFG \simeq CFH;], donde segue que [;FG = FH \quad \Rightarrow \quad GH = 2FG;]. Por outro lado, da semelhança dos triângulos [;BEG;] e [;BCH;], temos

[;\frac{BG}{BH} = \frac{BE}{BC} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad BG = \frac{BH}{2} = \frac{BG + GH}{2} \quad \Rightarrow;]

[;BG = GH = 2GF;]

Uma consequência interessante deste resultado apresentada em Geometria Analítica é a fórmula para achar as coordenadas do baricentro [;G;] em função das coordenadas dos pontos [;A;], [;B;] e [;C;]. Usaremos vetores para provar este fato.

Sendo [;O;] a origem de um sistema de coordenadas cartesianas, por simplicidade, representaremos os vetores [;\vec{OA};], [;\vec{OB};], [;\vec{OC};] e [;\vec{OG};] por [;\vec{A};], [;\vec{B};], [;\vec{C};] e [;\vec{G};] respectivamente. Provaremos que

[;\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} \quad \quad (1);]

Inicialmente, note que [;\vec{AD} = \vec{DB};] e sendo [;\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DB};], segue que

[;\vec{AB} = 2\vec{DB} \quad \Rightarrow \quad \vec{D} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \quad \quad (2);]

que é a fórmula para o cálculo das coordenadas do ponto médio. Usando a propriedade anterior, temos

[; \vec{CG} = 2\vec{GD} \quad \Rightarrow \quad \vec{G} - \vec{C} = 2(\vec{D} - \vec{G}) \quad \Rightarrow \quad 3\vec{G} = \vec{C} + 2\vec{D} \quad \quad (3);]

Substituindo [;(2);] em [;(3);], segue a relação [;(1);]. Para encerrar o assunto, deduziremos uma fórmula para determinar o comprimento da mediana e ao invés de usar a famosa relação de Stewart, aplicaremos o teorema de Pitágoras. Para isso, considere a figura abaixo.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [;AED;], temos

[;m_{a}^{2} = h_{a}^{2} + x^2 \quad \quad (4);]

Novamente, usando o teorema de Pitágoras nos triângulos [;AEB;] e [;AEC;], segue que
[;\begin{cases}b^2 = (\frac{a}{2} + x)^2 + h_{a}^{2}\\c^2 = (\frac{a}{2} - x)^2 + h_{a}^{2}\\\end{cases};]
Somando estas equações, obtemos

[;b^2 + c^2 = \frac{a^2}{2} + 2(x^2 + h_{a}^{2}) \quad \quad (5);]

Substituindo [;(4);]em [;(5);], segue que

[;m_{a}^{2} = \frac{1}{2}(b^2 + c^2) - \frac{a^2}{4} = \frac{1}{4}(2b^2 + 2c^2 - a^2) \quad \Rightarrow \quad m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2};]

As demais medianas são deduzidas de modo análogo.

Gostará de ler também o post
- As Mediatrizes de um Triângulo Concorrem Num Mesmo Ponto.

Para saber mais sobre os outros segmentos e pontos notáveis num triângulo, leia o post do blog Baricentro da Mente.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 17.1.10
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11 comentários:

  1. Dá para provar q elas se interceptam em um mesmo ponto através do teorema de Ceva:Se as medidas delimitadas pelas medianas obedecem ao Teo. de Ceva então as medianas são concorrentes em um mesmo ponto =D!!

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  2. alguem prava q a soma das medianas em funçao de vetores é igual ao vetor zero?

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  3. Não entendi bem a sua pergunta, mas não foi preciso provar esse fato.

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  4. ALGUEM PODERIA PROVAR QUE AS SOMAS DAS MEDIANAS EM FUNÇÃO DE VETORES É IGUAL A ZERO???

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  5. Caro colega, é fácil provar que [;u = \vec{CA};] e [;v = CB;] formam um paralelogramo em que o ponto D é o ponto médio, pois

    [;\vec{u} + y(\vec{v} - \vec{u}) = x(\vec{v} + \vec{u}) \quad \Rightarrow \quad x=y=1/2;]

    Assim, [;\vec{CD} = \frac{\vec{CA} + \vec{CB}}{2};]. Analogamente, [;\vec{AE} = \frac{\vec{AC} + \vec{AB}}{2};] e [;\vec{BF} = \frac{\vec{BA} + \vec{BC}}{2};]. Somando essas igualdades membro a membro, segue que [;\vec{CD} + \vec{AE} + \vec{BF} = \vec{0};].

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  6. Olá meu nome é carol estou no 1 semetree queria saber sobre vetores
    meu email é carolhiphop_delicia@hotmail.com quem souber um mas facil de ser compreendido aceito ajuda

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  7. Eliza, veja na página inicial vários posts sobre Geometria Analítica. Para uma busca específica digite o assunto na caixa de pesquisa localizada na parte superior à direita do blog. Pretendo publicar mais artigos sobre assunto. Obrigado pela visita e volte sempre.

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  8. Olá professor Paulo Sérgio, meu nome é Zé Maria, gostaria de saber um pouco como se calcula a área entre cevianas de um triângulo e o lado do mesmo, pois estou com dificuldade para calcular essas áreas. Adorei o blog. Um abraço!!! Zé Maria do Ceará......

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  9. Sem um desenho e de uma explicação mais detalhada fica dificil auxiliá-lo, mas lhe dou a sugestão de usar a formula de Heron. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  10. eu tenho dificuldades nessa materia tem algum site online com um professor q possa ajudar?

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  11. Veja a comunidade de matemática do Orkut. Coloque suas dúvidas que sempre tem pessoas dispostas a ti ajudar.

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