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quinta-feira, 14 de janeiro de 2010

Retas Perpendiculares no Plano

Nos últimos tempos percebi que os livros textos de Matemática têm dado muita atenção a Álgebra em detrimento da Geometria Plana. Veremos neste post que as técnicas deste ramo do conhecimento está presente em expressões simples, tal como a relação entre os coeficientes angulares de duas retas perpendiculares.

Para isso, dadas as retas perpendiculares [;r: \ y = m_1x;] e [;s: \ y=m_2x + b;], mostraremos através da Geometria Plana o clássico resultado [;m_1\cdot m_2 = -1;].
De fato, na figura acima,

[;\triangle OAB \sim \triangle ODC \quad \Rightarrow \quad \frac{OB}{OA} = \frac{OD}{OC} \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{\frac{-b}{m_2}} = \frac{1}{m_1} \quad \Rightarrow \quad m_1\cdot m_2 = -1;]

Deixo a cargo do leitor provar a recíproca deste teorema, ou seja, se as retas [;r;] e [;s;] não-paralelas aos eixos coordenados satisfazem a expressão [;m_1\cdot m_2 = -1;], então elas são perpendiculares.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 14.1.10
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Um comentário:

  1. Professor, depois de muito estudar o que foi aqui exposto pelo senhor, notei que essa regra, quando aplicada em duas retas quaisquer do tipo y=mx+h, para ambas as retas, não funciona.
    No caso usado pelo senhor, também não deveria, visto que OA é a medida de um lado, e não um vetor. Assim, jamais poderia ser negativo, como dito: OA=-b/m2.
    Dito isso, proponho que o senhor faça uma demonstração geral do caso, usando duas retas quaisquer, e lembrando que a reta em si é o módulo do valor, e não pode jamais ser negativo. Sem lembrar disso, usando a regra geral, encontra-se m1.m2=1 incorretamente, pois não é m1 e m2 e sim |m1| e |m2|. Assim, sabendo que m2 é negativo (coeficiente angular de uma reta descrescente, chega-se à conclusão correta de que m1.m2=-1.

    Espero ter compreendido minha preocupação e obrigado pela explicação.

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