Um Convite ao Cálculo das Variações

Conjuntamente com os problemas em que é necessário determinar os máximos e mínimos de certa função , com frequência surge nos problemas físicos a necessidade de achar os valores máximos ou mínimos de um gênero especial de grandezas, chamadas funcionais.

Os funcionais são grandezas variáveis cujos valores se determinam mediante a escolha de uma ou de várias funções. Por exemplo, o comprimento do arco de uma curva plana que une dois pontos dados e , é um funcional. A grandeza pode ser determinada se é dada a equação da curva , ou seja:

A área de certa superfície é também um funcional, pois para cada função , podemos determinar sua área delimitada por uma região no plano através da fórmula:

Os momentos de inércia, os momentos estáticos, as coordenadas do centro de gravidade de certas curvas ou superfícies homogêneas, são também funcionais, posto que seus valores se determinam escolhendo a curva ou a superfície, isto é, as funções contidas na equação de tal curva ou superfície.

Muitas leis da Mecânica e da Física se reduzem a afirmação de que certo funcional deve alcançar seu mínimo ou seu máximo no processo considerado. Neste contexto, tais leis recebem o nome de princípios variacionais da Mecânica ou da Física. A tais princípios variacionais, ou seus corolários mais simples, pertencem: o princípio da ação mínima, a lei da conservação da energia, a lei de conservação do impulso, a lei de conservação da quantidade de movimento e diferentes princípios variacionais da teoria clássica e da teoria relativista.

O Cálculo das Variações começou a desenvolver-se em , chegando a ser uma disciplina matemática independente com métodos próprios de investigação depois dos trabalhos fundamentais do membro ativo da Academia de Ciências de São Petersburgo Leonhard Euler que pode ser considerado com pleno direito o fundador do Cálculo das Variações, mas abdicou de publicar seus trabalhos, dando todos os créditos ao jovem matemático italiano Joseph Louis Lagrange. A base deste formalismo é o lema fundamental do Cálculo das Variações, cuja fórmula aparece na figura acima. O três problemas seguintes exerceram grande influência no desenvolvimento do Cálculo das Variações:

Problema da Braquistócrona: Em , Johann Bernoulli publicou uma carta no qual propunha um problema sobre as "linhas de deslizamento" mais rápido, ou braquistócronas o qual chamou a atenção dos matemáticos da época. Neste problema, dados os pontos e , que não pertencem a uma mesma reta vertical, deve-se determinar a linha que une esses dois pontos de modo que um ponto material se deslize por tal curva do ponto até o ponto no menor tempo possível. A solução deste problema foi dada por Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli, Gottfried Leibniz, Isaac Newton e L`Hôpital. A curva de deslizamento mais rápida resultou sr a ciclóide.

Problema das Linhas Geodésicas: Qual é a linha de menor comprimento que une dois pontos dados sobre a superfície ? Estas linhas são chamadas de geodésicas e este é um tipo de problema variacional condicional, pois devemos achar as funções e que minimiza o funcional

com a condição satisfazer a equação . Este problema foi resolvido em por Johann Bernoulli, mas o método geral para resolver problemas deste tipo foi dado pelos trabalhos de Leonhard Euler e Joseph Louis Lagrange.

Problema Isoperimétrico: Qual é a forma que uma linha fechada de comprimento deve ter de modo a delimitar uma região de área máxima ?

Esta curva, como já se sabia na Grécia Antiga, é a circunferência, mas em termos variocionais devemos achar o extremo do funcional com uma condição complementar de que o funcional comprimento de arco

se mantém constante. Condições deste tipo se chamam isoperimétricas. Os métodos gerais de resolução de problemas com condições isoperimétricas foram desenvolvidas por Leonhard Euler.

O Cálculo das Variações continuou seu desenvolvimento nos séculos seguintes com contribuições de grandes matemáticos tais como Ritz, Caractheodory, Riemann, Weiestrass, Dirichlet e Marston Morse com a sua Teoria do Controle Ótimo.