Membros

sábado

As Relações de Girard

Albert Girard, nasceu em [;1595;] na França, mas emigrou para a Holanda como refugiado religioso. Trabalhou em Álgebra, Trigonometria e Aritmética, traduzindo os trabalhos do matemático alemão Simon Stevin.

Em [;1629;], escreveu Invention nouvelle en l'algébre, demonstrando que as equações podiam ter raízes negativas e imaginárias. Neste trabalho, ele apresenta as famosas relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação polinomial.

A demonstração que apresentarei baseia-se no teorema seguinte:

Teorema 1: (Teorema Fundamental da Álgebra) Toda equação algébrica [;P(x) = 0;], possui pelo menos uma raiz complexa.

Demonstração: Apresentarei uma prova deste magnifíco fato num futuro post usando as ferramentas de Variáveis Complexas.

A Forma Fatorada de um Polinômio


Seja
[;P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x + a_0 = 0;]

uma equação polinomial de grau [;n;] ([;n \geq 1;]). O Teorema [;1;] nos garante que existe um número [;\alpha_1;] tal que [;P(\alpha_1) = 0;], ou seja,



Sendo [;P(x) = 0;], segue que [;x - \alpha_1 = 0;] ou [;Q_1(x) = 0;]. Se [;n \suc 1;], [;Q_1(x);] não é um polinômio constante e pelo mesmo raciocínio, ele admite uma raiz [;\alpha_2;], tal que

[;Q_1(x) = (x - \alpha_2)\cdot Q_2(x) \quad \quad (2);]

Substituindo [;(2);]em [;(1);], obtemos

[;0 = P(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2)Q_2(x);]

Procedendo desta maneira, concluímos que

[;P(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2)\ldots (x - \alpha_n)\cdot Q_n = 0 ;]

onde [;Q_n;] é constante. Sendo [;a_n;] o coeficiente de [;x^n;] em [;P(x);], segue da identidade de polinômios que [;Q_n = a_n;], de modo que

[;P(x) = a_n(x - \alpha_1)(x - \alpha_2)\ldots (x - \alpha_n) \quad \quad (3);]

As Relações de Girard

Sendo o grau de [;P(x);] igual a [;n;], então [;a_n \neq 0;], de modo que

[;x^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}x^{n-1} +\ldots + \frac{a_1}{a_n}x + \frac{a_0}{a_n} =0 \quad \quad (4);]

Expandindo [;(3);] e comparando com a expressão [;(4);], obtemos as relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação, conhecidas por relações de Girard.

[;\begin{cases}\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}\\\alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_3+\ldots+\alpha_j\alpha_k + \ldots = \frac{a_{n-2}}{a_n}\\\ldots\\\alpha_1\alpha_2\ldots \alpha_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n} \end{cases};]

Exemplo 1: Seja[;P(x);] um polinômio do quinto grau que satisfaz as condições [;P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 1;] e [;P(6) = 0;]. Determine [;P(0);].

Resolução: Usaremos a forma fatorada de um polinômio. Seja [;M(x) = P(x) -1;]. Note que M(x) também é um polinômio do [;5^{\underline{0}};] grau e

[;M(1) = M(2) = M(3) = M(4) = M(5) = 0;]

Assim, [;M(x) = k(x - 1)(x - 2)(x-3)(x-4)(x-5);], de modo que

[;-1 = -1 + 0 = P(6) - 1 = M(6) = 120k \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{1}{120};]

Logo, [;P(0) = M(0) + 1 = -\frac{1}{120}\cdot (-120) + 1 = 2;].

Exemplo 2: Sejam [;a,\ b;] e [;c;] três números tais que [;a+b+c = ab + ac + bc = 0;]. Mostre que [;\mid a \mid = \mid b \mid = \mid c \mid;].

Resolução: Considere uma equação do terceiro grau cujas raízes são [;a;], [;b;] e [;c;]. Assim, pelas relações de Girard, temos

[;x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc = 0 \quad \Rightarrow \quad x^3 = abc \quad x = \sqrt[3]{abc};]

Assim, [;\mid x \mid = \mid \sqrt[3]{abc} \mid;] para todo [;x\ ;] que satisfaça a equação. Em particular, [;\mid a \mid = \mid \sqrt[3]{abc}\mid ;], [;\mid b \mid = \mid \sqrt[3]{abc}\mid;] e [;\mid c \mid = \mid \sqrt[3]{abc}\mid;], donde segue o resultado.

Exercícios Propostos:
1) Dada a equação [;2x^3 - 4x^2 + 3x - 1 = 0;], de raízes [;\alpha;], [;\beta;] e [;\gamma;], determine:
a) [;\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma};];
b) [;\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2;].
Respostas: a) [;3;] e b) [;1;].

2) Mostrar que se as raízes da equação [;x^3+px^2+qx+r=0;] estão em [;P.G.;] então [;q^3 = rp^3;].

Gostará de ler também:
- A História das Equações Algébricas (Parte 1);
-
A História das Equações Algébricas (Parte 2);
-
A História das Equações Algébricas (Parte 3);
- Um Caso Particular de Equação Quártica (Parte 1);
- Um Caso Particular de Equação Quártica (Parte 2).

Nenhum comentário:

Postar um comentário