O Problema das Velas

Esses dias encontrei alguns problemas relativos a queima de duas velas homogêneas ou não e de dimensões variadas e com certas autonomias em horas. Tais questões as vezes caem em vestibulares e exigem do aluno o conhecimento de Álgebra Elementar e a capacidade de modelar um problema prático.

Mas o objetivo deste post é apresentar um modo diferente de resolver estes problemas através da Geometria Analítica e do conceito de velocidade. Os problemas que citarei abaixo foram encontrados na internet e não tenho dados precisos sobre a fonte destas questões.

Faltou luz e resolvi acender duas velas. Quando a luz voltou, apaguei as velas. Sendo elas do mesmo tamanho, a primeira tinha autonomia de horas, enquanto que a outra tinha autonomia de horas. Depois de apagadas notei que o resto de uma tinha o dobro do resto da outra. Quanto tempo eu fiquei sem luz?

Resolução: Em todos esses problemas, admitimos a hipótese de que a velocidade de queima das velas é constante, de modo que o comprimento da vela em cada instante é uma função linear. A seguir sejam:

a velocidade de queima da vela;
a velocidade de queima da vela;
o comprimento das velas;

O primeiro modo de resolver este problema será através da Álgebra Elementar. Seja o tempo que faltou luz e quando a luz voltou a luz da vela estava com comprimento e a vela com comprimento uma vez que a primeira vela queima mais rápido que a segunda. Assim,

elimando dessas equações, temos ou . Logo,

que é o tempo que ficou sem luz.

Duas velas têm diferentes alturas e espessuras. A maior (mais alta) queima em e a menor (mais baixa) em . Depois de queimando as duas velas ficam com a mesma altura. Duas horas antes, (início), que fração da maior era a altura da vela menor?

Resolução: Podemos também usar a técnica acima para resolver este problema, mas acho mais interessante apresentar um método baseado em equações horárias representadas num sistema cartesiano. Para isto, sejam

e

as equações horárias das velas, sendo o comprimento inicial da vela , o comprimento inicial da vela e e as velocidades de queima das velas e respectivamente. Observe que essas equações são lineares devido a hipótese que queima constante das velas. Na figura abaixo, representamos estas equações.

Fazendo , segue que . Por outro lado, e , de modo que . Substituindo em , temos

Duas velas do mesmo comprimento são feitas de materiais diferentes, de modo que uma queima completamente em e outra em , cada qual numa taxa linear. A que horas da tarde as velas devem ser acesas simultaneamente para que, às , uma fique com o comprimento da metade do comprimento da outra?

Resolução: Usando as notações do problema anterior, seja o instante em que as velas foram acesas. Assim, as equações horárias das velas são:

Na figura abaixo, temos o gráfico das funções horárias.


As , temos . Assim,

Para finalizar, deixarei um problema proposto que pode ser resolvido com as duas técnicas citadas acima.

Em um laboratório duas velas que tem a mesma forma e a mesma altura são acesas simultâneamente. Uma das velas é consumida totalmente em e a outra em . Após quanto tempo do instante em que elas foram acesas, a altura de uma vela será o dobro da altura da outra?