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O Problema das Velas

Esses dias encontrei alguns problemas relativos a queima de duas velas homogêneas ou não e de dimensões variadas e com certas autonomias em horas. Tais questões as vezes caem em vestibulares e exigem do aluno o conhecimento de Álgebra Elementar e a capacidade de modelar um problema prático.

Mas o objetivo deste post é apresentar um modo diferente de resolver estes problemas através da Geometria Analítica e do conceito de velocidade. Os problemas que citarei abaixo foram encontrados na internet e não tenho dados precisos sobre a fonte destas questões.

[;1);] Faltou luz e resolvi acender duas velas. Quando a luz voltou, apaguei as velas. Sendo elas do mesmo tamanho, a primeira tinha autonomia de [;3;] horas, enquanto que a outra tinha autonomia de [;5;] horas. Depois de apagadas notei que o resto de uma tinha o dobro do resto da outra. Quanto tempo eu fiquei sem luz?

Resolução:
Em todos esses problemas, admitimos a hipótese de que a velocidade de queima das velas é constante, de modo que o comprimento da vela em cada instante é uma função linear. A seguir sejam:

[;v_1;] a velocidade de queima da [;1^{\underline{a}};] vela;
[;v_2;] a velocidade de queima da [;2^{\underline{a}};] vela;
[;l;] o comprimento das velas;

O primeiro modo de resolver este problema será através da Álgebra Elementar. Seja [;t;] o tempo que faltou luz
e quando a luz voltou a luz da [;1^{\underline{a}};] vela estava com comprimento [;x \;] e a [;2^{\underline{a}};] vela com comprimento [;2x \;] uma vez que a primeira vela queima mais rápido que a segunda. Assim,

[;v_1 = \frac{l}{3}=\frac{l - x}{t} \quad \quad \text{e} \quad \quad v_2 = \frac{l}{5} = \frac{l - 2x}{t};]

elimando [;t;] dessas equações, temos [;5(l - 2x) = 3(l - x);] ou [;x = 2l/7;]. Logo,

[;t = \frac{l - x}{l/3} = \frac{l - 2l/7}{l/3} = \frac{15}{7} \ horas;]

que é o tempo que ficou sem luz.

[;2);] Duas velas têm diferentes alturas e espessuras. A maior (mais alta) queima em [;3,5 \ h;] e a menor (mais baixa) em [;5\ h;]. Depois de [;2\ h;]queimando as duas velas ficam com a mesma altura. Duas horas antes, (início), que fração da maior era a altura da vela menor?

Resolução: Podemos também usar a técnica acima para resolver este problema, mas acho mais interessante apresentar um método baseado em equações horárias representadas num sistema cartesiano. Para isto, sejam

[;s_1(t) = l_1 - v_1t;] e [;s_2(t) = l_2 - v_2t;]

as equações horárias das velas, sendo [;l_1;] o comprimento inicial da vela [;1;], [;l_2;] o comprimento inicial da vela [;2;] e [;v_1;] e [;v_2;] as velocidades de queima das velas [;1;] e [;2;] respectivamente. Observe que essas equações são lineares devido a hipótese que queima constante das velas. Na figura abaixo, representamos estas equações.

Fazendo [;s_1(2) = s_2(2);], segue que [;l_1 = l_2 + 2(v_1 - v_2) \quad \quad (1);] . Por outro lado, [;v_1 = l_1/3,5;] e [;v_2 = l_2/5;], de modo que [;v_1 - v_2 = l_1/3,5 - l_2/5 \quad \quad (2);]. Substituindo [;(2);] em [;(1);], temos

[;l_1 = l_2 + 2\biggl(\frac{2}{7}l_1 - \frac{l_2}{5}\biggr) \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \frac{l_2}{l_1} = \frac{5}{7};]

[;3);] Duas velas do mesmo comprimento são feitas de materiais diferentes, de modo que uma queima completamente em [;3\ h;] e outra em [;4\ h;], cada qual numa taxa linear. A que horas da tarde as velas devem ser acesas simultaneamente para que, às [;16\ h;], uma fique com o comprimento da metade do comprimento da outra?

Resolução: Usando as notações do problema anterior, seja [;t_0;] o instante em que as velas foram acesas. Assim, as equações horárias das velas são:

[;s_1(t) = l - v_1(t - t_0) = l - \frac{l}{3}(t-t_0) \quad \quad \text{e} \quad \quad s_2(t) = l - v_2(t - t_0) = l - \frac{l}{4}(t - t_0);]

Na figura abaixo, temos o gráfico das funções horárias.


As [;16\ h;], temos [;s_2(t) = 2s_1(t);]. Assim,

[;1 - \frac{1}{4}(16 - t_0) = 2\biggl[1 - \frac{1}{4}(16 - t_0)\biggr] \quad \quad \Rightarrow \quad \quad t_0 = 13,6\ h = 13\ h\ 36\ min;]

Para finalizar, deixarei um problema proposto que pode ser resolvido com as duas técnicas citadas acima.

[;4);] Em um laboratório duas velas que tem a mesma forma e a mesma altura são acesas simultâneamente. Uma das velas é consumida totalmente em [;5\ h;] e a outra em [;4\ h;]. Após quanto tempo do instante em que elas foram acesas, a altura de uma vela será o dobro da altura da outra?

4 comentários:

  1. Sendo o tempo de consumação de uma vela A [;t_{a};] e o tempo de consumação de uma vela B [;t_{b};], com [;t_{a};]>[;t_{b};], o tempo [;t;] decorrido de maneira que a vela A seja [;m;] vezes maior do que a vela B é:
    [;t = \frac{t_{a}t_{b}(m-1)}{mt_{a}-t_{b}};]

    Para o problema proposto, [;t = 3h 20min;].


    É isso aí!!!

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  2. Muito bom amigo Hun. Você sempre apresenta uns comentários que vem enriquecer os posts. Continue assim.

    Abraços!

    A resposta está corretíssima.

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  3. Muito Interessante...

    Obrigado por ter aceitado a nossa parceria!!

    Clave de pi!

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