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Provas do Teorema de Pitágoras (Parte 3)

A demonstração do teorema de Pitágoras que apresentarei foi elaborada por Euclides de Alexandria e aparece no livro [;I;] - proposição [;47;], cuja figura ilustrada ao lado usada na demonstração, é conhecida por moinho de vento ou cadeira de noiva.

Para simplificar a notação, iremos expressar as áreas com as letras entre parênteses e usaremos o fato que se em um triângulo, deixamo a base fixa e movemos o outro vértice numa paralela a base, a área não varia. Observando a figura, temos

[;(BKJE) = 2(BJE) = 2(BEC) = 2(BAF) = 2(BCF) = (BCGF);]

De maneira análoga, tem-se [;(AKJD) = (ACIH);]. Logo,

[;(ABED) = (BKJE) + (AKJD) = (BCGF) + (ACIH);]

Segundo Proclo, esta prova é mesmo de Euclides que a concebeu para aparecer no livro [;I;], uma vez que a teoria das proporções e semelhanças iria surgir mais tarde nos livros [;V ;]e [;VI;] dos Elementos de Euclides.

Uma variação desta demonstração está baseia-se na figura abaixo:


Note que [;(BKJE) = (BCLE) = (BFMA) = (BFGC);] e de modo análogo, prova-se que [;(AKJD) = (AHIC);] . Somando essas expressões, obtém-se o resultado desejado.

Fonte: García Capitán, Francisco Xavier. Algunas Demonstraciones del Teorema de Pitágoras.

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