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sexta-feira, 26 de fevereiro de 2010

Uma Identidade Entre Séries e Integrais

No estudo das Séries Infinitas, dá-se muita ênfase em descobrir se uma dada série é ou não convergente. Sendo a série convergente, existe a sua soma, mas na maioria dos casos, é difícil de determinar tal valor.

Neste post, veremos um tipo de série infinita convergente, cuja soma está relacionada com uma integral definida, ou seja, mostraremos que

[;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(mk+a)(mk+b)} = \frac{1}{b-a}\int_{0}^{1}\frac{(x^{a-1}- x^{b-1})}{1 - x^m}dx \quad \quad (1);]

sendo [;a,b;] e [;m \in \mathbb{N}^{\ast};] com [;b \suc a;]. Pelo teste da integral é possível mostrar que a série em [;(1);] é convergente. Esta identidade é muito útil para determinar a soma de séries deste tipo. A demonstração é simples e baseia-se na técnica de frações parciais. De fato,

[;\frac{1}{(mk+a)(mk+b)} = \frac{A}{mk+a} + \frac{B}{mk+b};]

donde segue que [;A = 1/(b-a);] e [;B = -1/(b-a);]. Assim,

[;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(mk+a)(mk+b)} = \frac{1}{b-a}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{mk+a} - \frac{1}{b-a}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{mk+b} \quad \quad (2);]

Note que
e [;\frac{1}{mk+b} = \int_{0}^{1}x^{mk+b-1}dx;]

Substituindo essas expressões em [;(2);], temos

[;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(mk+a)(mk+b)} = \frac{1}{b-a}\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{1}x^{mk+a-1}dx - \frac{1}{b-a}\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{1}x^{mk+b-1}dx;]

[;\quad \quad = \frac{1}{b-a}\int_{0}^{1}x^{a-1}\sum_{k=0}^{\infty}x^{mk} - \frac{1}{b-a}\int_{0}^{1}x^{b-1}\sum_{k=0}^{\infty}x^{mk}dx \quad \quad (3);]

Estamos supondo na última expressão que a convergência é uniforme, de modo que podemos alternar a série com a integral. Mas,

[;\sum_{k=0}^{\infty}x^{mk} = \frac{1}{1 - x^m} \quad \quad (4);]

Substituindo [;(4);] em [;(3);] e juntando os termos obtém-se a expressão [;(1);].

Exemplo 1: Mostre que

[;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)(2k+2)} = \ln 2;]

Resolução: Usando a fórmula [;(1);] com [;m=2;], [;a=1;] e [;b=2;], segue que

[;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)(2k+2)} = \frac{1}{2-1}\int_{0}^{1}\frac{(x^{1-1} - x^{2-1})}{1 - x^2}dx = \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}= \ln 2;]

Exemplo 2: Verifique a identidade

[;\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x+x^2+x^3} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)(4k+2)};]

Resolução: De fato, usando a expressão [;(1);]com [;m=4;], [;a=1;] e [;b=2;], temos:

[;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)(4k+2)} = \int_{0}^{1}\frac{x^{1-1} - x^{2-1}}{1 - x^4}dx = \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x+x^2+x^3}dx;]

Exercícios: Use a identidade [;(1);] acima e calcule a soma das séries abaixo:

1) [;S = \frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 5}+\ldots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}+\ldots;]
R: [;S = 1/2;]
2) Mostre que
[;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)(2k+3)(2k+5)} = \frac{1}{12};]

Sugestão: Use frações parciais para escrever esta série na soma de duas séries, e em seguida use a identidade acima.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 26.2.10
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4 comentários:

  1. Vim aqui dar meus parabéns pelo excelente blog. Ótimo trabalhao. Muito bom para todos os amantes da matemática e das áreas afins. Continue o ótimo trabalho!!!

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  2. Muito obrigado Drummond pelos elogios!! Volte sempre.

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  3. Ótimo trabalho,é maravilhoso encontrarmos um blog muito interessante como este.

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  4. São incentivos assim que me motiva a continuar o trabalho de divulgação da Matemática. Obrigado Mauro pelos elogios e volte sempre!

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