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Fatos Históricos da Ciclóide

Foi Galileu Galilei [;(1564-1642);] quem descobriu por volta de [;1600;], a curva hoje chamada ciclóide, traçada por um ponto sobre o bordo de uma roda quando esta rola num caminho horizontal.

Galileu tentando achar a sua área recortou um molde em papel e concluiu que a área era aproximadamente igual a três vezes a área do círculo gerador. Em [;1637;], Roberval [;(1602-1675);] publica um trabalho com o cálculo exato da área sob um arco de ciclóide.

Galileu recomendou seu estudo a seus amigos, incluindo Mari Mersenne [;(1588-1648);]. Mersenne informou René Descartes [;(1596-1650);] e outros matemáticos da época.

Em [;1638;], Descartes desafia seus contemporâneos a determinar a tangente em um ponto qualquer da ciclóide. Pierre de Fermat [;(1601-1665);] aceitou o desafio e resolveu o problema sem muita dificuldade: seu método, mais amplo, atingiu diretamente o objetivo, mesmo nesse caso, em que se tratava de uma curva "mecânica" ou "transcendente" como hoje diríamos. Em [;1644;], o discípulo de Galileu, Evangelista Torricelli [;(1608-1647);] inventor do barômetro publicou sua descoberta da área sob o arco de ciclóide.

Em junho de [;1658;], Blaise Pascal [;(1632-1662);] em um famoso desafio aos matemáticos da época, propunha determinar o comprimento de um arco da ciclóide, seu centro de gravidade e a superfície do sólido de revolução formado pela rotação de um arco de ciclóide em torno do eixo [;x\ ;] ou [;y;]. Como prêmio foram depositados [;60;] dobrões (moeda de ouro espanhola), e as soluções deveriam ser entregues até [;1^{\circ};] de outubro de [;1658;]. O desafio suscitou enorme interesse, dando origem a volumosa correspondência. Apenas duas soluções deram entrada, nenhuma perfeitamente exata; quem mais se aproximou foi o inglês John Wallis [;(1616-1703);].

Quando Wallis mandou sua resposta ao desafio de Pascal, Christopher Wren [;(1632-1723);], enviou a Pascal sua retificação da ciclóide, encerrando a curva entre dois setores poligonais em de forma de dentes de serra. A determinação do comprimento desta curva fôra por muitos declarada impossível, inclusive por Descartes.

No decorrer destas investigações originou-se alguns conflitos de prioridade: os franceses procuravam negar a Torricelli todo e qualquer mérito, chegando até acusá-lo de plágio de Roberval, e infelizmente o próprio Pascal tomou parte muito ativa e pouco recomendável nesta controvérsia. Vejamos então como obter as equações paramétricas da ciclóide. Em posts futuros, publicarei outras propriedades interessantes da Helena da Geometria.

A ciclóide é a curva traçada por um ponto da circunferência quando o círculo rola sobre uma reta. Para determinar suas equações paramétricas considere a figura abaixo:


Assim, no sistema cartesiano, a ciclóide é o lugar geométrico do ponto [;P;] da circunferência, localizado na origem [;O;] quando o centro [;C;] está no eixo [;y;]. O ângulo [;\theta;] na figura acima é o ângulo varrido pelo raio [;CP;] quando o círculo rola para uma nova posição. Se [;x\ ;] e [;y;] são as coordenadas de [;P;], então do giro do círculo segue que

[;\overline{OB} = \widehat{BP} = r\theta\ \Rightarrow \ x = \overline{OA}=\overline{OB} -\overline{AB}=r\theta - \overline{PQ} = r(\theta - \sin \theta);]

Também, [;y =\overline{AP}=\overline{BQ}=\overline{BC}-\overline{CQ}=r(1 - \cos\theta);]. Assim, as equações paramétricas da ciclóide são:

[;\begin{cases}x(\theta) = r(\theta - \sin \theta)\\y(\theta) = r(1 - \cos \theta)\\\end{cases};]

3 comentários:

  1. Essa é a parametrização para qualquer ciclóide? E se o ponto estivesse fora da cicuferência?

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    1. Se o ponto estiver na parte interna ou externa da circunferência, teríamos hipociclóide e uma epiciclóide. Pesquise sobre estes nomes no Google.

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  2. Amo a história da matemática! É, talvez, uma das coisas que mais gosto de ler.

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