Vejamos neste post uma integral imprópria apresentada como problema do mês no blog Problemas e Teoremas, que pode ser calculada através da técnica das transformadas de Laplace. O enunciado é o seguinte: Prove ou dê contra-exemploPara calcular esta integral, note que:
Assim,
![[;I:=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(s) - \cos(3s)}{s^2}ds = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}xe^{-sx}[\cos(s) - \cos(3s)]dxds;]](http://thewe.net/tex/I:=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Ccos%28s%29%20-%20%5Ccos%283s%29%7D%7Bs%5E2%7Dds%20=%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dxe%5E%7B-sx%7D%5B%5Ccos%28s%29%20-%20%5Ccos%283s%29%5Ddxds "I:=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(s) - \cos(3s)}{s^2}ds = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}xe^{-sx}[\cos(s) - \cos(3s)]dxds")
![[;I = \int_{0}^{\infty}\frac{9dx}{9 + x^2} - \int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1 + x^2} = [3\arctan(x/3) - \arctan(x)]_{0}^{\infty} = \pi;]](http://thewe.net/tex/I%20=%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B9dx%7D%7B9%20+%20x%5E2%7D%20-%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7B1%20+%20x%5E2%7D%20=%20%5B3%5Carctan%28x/3%29%20-%20%5Carctan%28x%29%5D_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20=%20%5Cpi "I = \int_{0}^{\infty}\frac{9dx}{9 + x^2} - \int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1 + x^2} = [3\arctan(x/3) - \arctan(x)]_{0}^{\infty} = \pi")
Gostará de ler também
- Transformadas de Laplace e Integrais Impróprias (Parte 1);
- Transformadas de Laplace e Integrais Impróprias (Parte 2);
- Transformadas de Laplace e Integrais Impróprias (Parte 3).
Invertendo a ordem de integração e usando a definição de transformada de Laplace, temos:
![[;I = \int_{0}^{\infty}x\int_{0}^{\infty}[\mathcal{L}\{\cos(s)\} - \mathcal{L}\{\cos(3s)\}]dx = \int_{0}^{\infty}\biggl[\frac{x^2}{1+x^2} - \frac{x^2}{9 + x^2}\biggr]dx;]](http://thewe.net/tex/I%20=%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5B%5Cmathcal%7BL%7D%5C%7B%5Ccos%28s%29%5C%7D%20-%20%5Cmathcal%7BL%7D%5C%7B%5Ccos%283s%29%5C%7D%5Ddx%20=%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbiggl%5B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B1+x%5E2%7D%20-%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B9%20+%20x%5E2%7D%5Cbiggr%5Ddx "I = \int_{0}^{\infty}x\int_{0}^{\infty}[\mathcal{L}\{\cos(s)\} - \mathcal{L}\{\cos(3s)\}]dx = \int_{0}^{\infty}\biggl[\frac{x^2}{1+x^2} - \frac{x^2}{9 + x^2}\biggr]dx")
ou seja,Observação: Poderíamos ter usado a identidade apresentada no post Transformadas de Laplace e Integrais Impróprias (Parte 2).
Gostará de ler também
- Transformadas de Laplace e Integrais Impróprias (Parte 1);
- Transformadas de Laplace e Integrais Impróprias (Parte 2);
- Transformadas de Laplace e Integrais Impróprias (Parte 3).
Obrigado pela sua participação.
ResponderExcluirAchei interessante a integral e serviu como um exemplo do uso das técnicas de transformada de Laplace.
ResponderExcluirProf.
ResponderExcluirFalta x^2 nos denominadores dos dois últimos integrais.
Américo
É sem os [;x^2;] mesmo. Veja a simplificação abaixo:
ResponderExcluir[;\frac{x^2}{1+x^2} - \frac{x^2}{9 + x^2} = \frac{1 + x^2 - 1}{1+x^2} - \frac{9+ x^2 - 9}{9+x^2} = 1 - \frac{1}{1 + x^2} - 1 + \frac{9}{9+x^2};]
ou seja,
[;\frac{x^2}{1+x^2} - \frac{x^2}{9 + x^2} = \frac{9}{9+x^2} - \frac{1}{1+x^2};]
Certo. Acrescentei estes passos.
ResponderExcluirAbraço
Ainda lhe falta o 9 no 1.º integral da última linha.
ResponderExcluirAmérico