A Matemática na Vida das Abelhas (parte 4 de 4)

Neste post, veremos através de uma modelagem espacial e do uso do Cálculo Diferencial como elas fecharam o fundo do álveolo economizando o material usado. Em termos matemáticos, temos o seguinte problema:

É dado um prisma hexagonal regular de raio . Esse prisma é fechado em uma de suas extremidades, por três losangos iguais. Sabendo que o volume do prisma é , qual deve ser o ângulo agudo do losango de modo que a área total seja mínima?

Resolução: Na figura abaixo, do triângulo retângulo ,

Por outro lado,

donde segue que

Por simetria, , onde

Logo,


Além disso, do triângulo retângulo ,

Da figura acima, e

Sendo , segue que

Sejam: (Ver figura ii))
a área dos três losangos que fecham o fundo do alvéolo;
a área de triângulos ;
a área de retângulos de base e altura .

Assim,

donde segue que

e

ou seja,

Logo,

usando as expressões , e . Assim, temos a função área total do alvéolo

Derivando a expressão e igualando a zero, temos:

ou seja,

Sendo , podemos afirmar que para , a área total do alvéolo será mínima. Usando a identidade , temos:

de modo que

Nota Histórica:

Convém dizer a verdade: König desconhecia as pesquisas feitas por seu amigo Reáumur, e ignorava os trabalhos de Maraldi. König jamais pensara que estaria destinado a calcular alvéolo de abelha.

König encontrou o ângulo de como o que proporcionava a maior economia, confirmando a suspeita anteriormente confirmada por Reáumur. O resultado apresentado pelo prestigioso matemático assombrou o mundo cientifico da França., pois o ângulo calculado pelo matemático é e o ângulo calculado pelas abelhas: .

– As abelhas erravam. Mas o erro é mínimo – diziam alguns teólogos. Erravam na construção de seus alvéolos porque obra perfeita só Deus poderia fazer! Além disso, o erro no ângulo, de , só poderá ser apreciado com aparelhos de precisão.

Os naturalistas afirmavam que o erro cometido pelas abelhas geômetras deveria resultar da natureza do material empregado. O matemático abordara a questão teórica, mas o pequenino inseto era obrigado a encarar o problema prático, problema da vida.

Um matemático inglês, Colin MacLaurin , quatro anos mais velho que König, informado do caso, resolveu entrar também na questão, isto é, o problema das abelhas. Retomou o problema, aplicou as fórmulas e resolveu-o com os recursos do Cálculo Diferencial, e achou que König havia errado. O ângulo agudo do losango, para o alvéolo mais econômico, deveria medir precisamente .

A revelação de MacLaurin, publicada no artigo "On the Bases of the Cells where in the Bees Deposit their Honey" de , causou novo escândalo no meio cientifico europeu. Novos debates surgiram entre os cientistas.

König, o respeitável matemático, nome consagrado pela Academia de Ciências, havia errado! A verdade estava com as abelhas. Procedeu, porém, MacLaurin dentro de uma ética impecável. Declarou que seu colega König errara por ter utilizado em seus cálculos uma tábua de logaritmos que tinha um erro. Revelou MacLaurin qual era essa tábua e onde estava o erro, do qual resultara, para o ângulo do losango, uma pequena diferença de .

Podemos concluir que a matemática dos alvéolos é apenas uma constatação feita pelo homem de que na natureza se usa sempre a menor quantidade de material para preencher uma certa finalidade. Isto resulta diretamente de um planejamento de trabalho visando maior produtividade e maior rapidez. A economia de material é uma constante na natureza em que o custo é interpretado pelo que se poderia denominar "custo metabólico".

Gostará de ler também
- A Matemática na Vida das Abelhas (Parte 1);
- A Matemática na Vida das Abelhas (Parte 2);
- A Matemática na Vida das Abelhas (Parte 3).

Referência Bibliográfica:

- TAHAN, Malba – As maravilhas da matemática, Bloch Editores S/A, 4a edição, , Rio de Janeiro.
- MCLAURIN, C. – On the Bases of the Cells where in the Bees Déposit their Honey, in Philosophy Transactions 42 , p. .