Membros

segunda-feira, 26 de abril de 2010

O Cálculo de Isaac Newton (Parte 1)

Os dois problemas principais que preocupavam os matemáticos contemporâneos de Newton eram:

[;1);]A determinação da tangente a uma curva em um ponto dado;
[;2);] O cálculo da área acima de um eixo e sob uma curva dada.

Vários matemáticos apresentaram métodos particulares para o primeiro problema, também chamado de problema de tangência e para o segundo problema, conhecido por problema de quadratura.

Imediatamente depois de ter descoberto a série binomial, Newton toma consciência de um fato extraordinário: esses dois tipos de problemas são inversos um do outro. Em termos modernos, podemos dizer que o cálculo de uma tangente realiza uma operação de derivação, enquanto que o problema de quadratura equivale a efetuar a operação inversa.

Esse resultado é sem dúvida nenhuma, um dos mais fecundos da história da matemática, pois não se refere à resolução de um certo problema particularmente difícil, mas à resolução de toda uma classe de problemas que podem levar a um cálculo de áreas ou de tangentes. Este evento passará para a história sob o nome de cálculo diferencial e integral ou cálculo infinitesimal.

Para fundamentar seu método sobre bases sólidas, Newton se inspira no modelo da mecânica e introduz o tempo como variável universal. Ele definiu as noções de fluentes e fluxões nos seguintes termos:

"Eu chamarei de Quantidades Fluentes, ou simplesmente Fluentes estas quantidades que eu considero como aumentadas gradualmente e indefinidamente, eu as representarei pelas últimas letras do alfabeto [;x \;], [;y;] e [;z;] para distinguir das outras quantidades que, nas equações, são consideradas como conhecidas e determinadas que nós representamos pelas letras iniciais [;a;], [;b;], [;c;], etc.; eu representarei pelas mesmas letras sobrepostas de um ponto [;\dot{x};], [;\dot{y};]e [;\dot{z};] as velocidades cujas quantidades fluentes são aumentadas pelo movimento que as produz e, por consequência nós podemos chamar Fluxões".

Assim, [;x\ ;] e [;y;]são quantidades fluentes porque variam (fluem), e [;\dot{x};] e [;\dot{y};]são fluxões das fluentes [;x\ ;] e [;y;]. Além disso, ele designa por [;\circ;] um intervalo de tempo infinitamente pequeno. Assim, [;\dot{x}\circ;] é o crescimento infinitesimal que sofre a fluente [;x\ ;]num intervalo de tempo infinitesimal [;\circ;] (o produto [;\dot{x}\circ;] é chamado de momento da fluente [;x\ ;]).

A seguir, ele enuncia claramente o problema fundamental do cálculo:

"Sendo dada a relação das quantidades fluentes, encontrar a relação de suas fluxões. E inversamente".

Para compreender o método das fluxões de Newton considere a figura abaixo:

Durante um intervalo de tempo infinitesimal [;\circ;], o ponto se deslocará de [;P;] a [;P^{\prime};], num movimento que se pode considerar retilíneo e uniforme. O movimento acelerado desse ponto, é assim constituído de uma infinidade de movimentos uniformes. De [;P;] a [;P^{\prime};], não temos mais uma curva, mas uma trajetória retilínea infinitesimal.

Os catetos do triângulo retângulo [;PQP^{\prime};]são e [;\dot{y}\circ;], de modo que a inclinação da tangente a nossa curva é dada por

[;\frac{\dot{y}\circ}{\dot{x}\circ} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} \quad \quad (1);]

Assim, para determinar de maneira algébrica a tangente de uma curva de equação [;f(x,y) = 0;], Newton substitui[;x\ ;]por [;x + \dot{x}\circ;] e [;y;] por [;y + \dot{y}\circ;] na equação dada, divide por [;\circ;], despreza os termos que ainda contém [;\circ;] e determina a razão [;\dot{y}/\dot{x};].

Exemplo 1: (Newton) Calcule a inclinação à curva [;x^3 - ax^2 + axy - y^3 = 0;] no ponto [;(x,y);].

Usando os procedimentos acima, temos

[;(x + \dot{x}\circ)^3 - a(x + \dot{x}\circ)^2 + a(x + \dot{x}\circ)(y + \dot{y}\circ) - (y + \dot{y}\circ)^3 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;3x^2\dot{x}\circ + 3x\dot{x}^2\circ^2 + \dot{x}^3\circ^3 - 2ax\dot{x}\circ - a\dot{x}^2\circ^2 + ax\dot{y}\circ + a\dot{x}y\circ + ;]

[;a\dot{x}\dot{y}\circ^2 - 3y^2\dot{y}\circ - 3y^2\dot{y}\circ - 3y\dot{y}^2\circ^2 - \dot{y}^3\circ^3 = 0;]

Dividindo por [;\circ;] e desprezando os termo que ainda contém [;\circ;], segue que

[;3x^2\dot{x} - 2ax\dot{x} + ax\dot{y} + a\dot{x}y - 3y^2\dot{y};]

Dividindo-se por [;\dot{x};] e reagrupando-se os termos, obtemos a relação [;\dot{y}/\dot{x};], ou seja,

[;\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{3x^2 - 2ax + ay}{3y^2 - ax};]

que é a inclinação da tangente na curva no ponto [;(x,y);].

Isaac Newton, desenvolveu o conjunto dessas ideias em alguns meses, essencialmente durante o período de isolamento passado em Woolsthorpe para fugir da peste.

Exemplo 2: Use o método das fluxões de Newton e determine [;\dot{y}/\dot{x};] à curva [;y = x^n;] no ponto [;(x,y);].

Substituindo [;x\ ;] por [;x + \dot{x}\circ;] e [;y;] por [;y + \dot{y}\circ;], temos:

[;y + \dot{y}\circ = (x + \dot{x}\circ)^n;]

Usando a fórmula do binômio, Newton desenvolve o segundo membro, obtendo

[;y + \dot{y}\circ = x^n + n\circ\dot{x}x^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}\circ^2\dot{x}^2x^{n-2}+\ldots;]

Subtraindo [;y = x^n;], dividindo por [;\circ;] e desprezando todos os termos contendo ainda [;\circ;], segue que
[;\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = nx^{n-1};]

Gostará de ler também:
- O Cálculo de Isaac Newton (Parte 2).

Referências Bibliográficas:
- Gênios da Ciência: Newton Pai da Física Moderna. Scientif American Brasil, 2005.
- Galarda, Lilian J., E. E. Silva, Sophia e M. M. Rossi, Suely. A Evolução do Cálculo Através da História. Ed. da Universidade Federal do Espírito Santo, 1999.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 26.4.10
Marcadores: ,
Reações: 

7 comentários:

  1. Muito bom post Paulo, sou admirador da fantástica teoria do Cálculo. Confesso que dei risada quando li "os catetos do triângulo PQP..." hehehe
    Mudando de assunto, coloquei um link do seu blog em meu blog canalmonitoria.blogspot.com. Abraços

    ResponderExcluir

  2. Obrigado Alan. Também adicionei um link com seu blog na seção "blogs interessantes".

    Abraços!!!

    ResponderExcluir

  3. Excepcional Parceiro! E a propósito, essa coleção Gênios da Ciência é fantástica! Tenho esta e também A História da Ciência. Muito boa também!

    Um abraço!

    ResponderExcluir

  6. Aconteceu essa coincidência das letras. Que bom que gostou do post, volte sempre!

    ResponderExcluir

Assinar: Postar comentários (Atom)