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O Teorema da Corda Quebrada de Arquimedes

O matemático árabe Abul Raihan al Biruni (figura ao lado) atribui a Arquimedes, uma elegante proposição geométrica, chamda teorema da corda quebrada o qual enunciaremos abaixo:

Teorema (Arquimedes): Se [;AB;] e [;BC;] compõem uma corda quebrada [;ABC;], onde [;BC \succ AB;] e se [;M;] é o ponto médio do arco [;A\widehat{B}C;], então o pé da perpendicular [;F;] de [;M;] sobre [;BC;] é o ponto médio da corda quebrada.

Demonstração:
Na figura abaixo, provaremos que

[;AB + BF  = FC = \frac{AB+BC}{2};]

Desde que [;AB \prec BC;] existe um ponto [;E;] sobre [;BC;] tal que [;EC = AB;].


Por hipótese, [;M;] é o ponto médio do arco [;A\widehat{M}B;], de modo que [;AM = MC;], pois cordas de arcos congruentes são congruentes. Além disso, [;\hat{A} = \hat{C};], pois são ângulos de um mesmo arco [;\hat{BM};]. Sendo [;EC = AB;], segue que [;\triangle ABM \simeq \triangle CEM;].

Desta congruência desses triângulos, segue que [;BM = ME;] o que prova que o [;\triangle MBE;] é isósceles. Sendo [;MF;] sua altura, então [;\triangle BMF \simeq EMF;], pois [;B\hat{F}M = E\hat{F}M = 90^{\circ};], [;MF = MF;] e [;BM = ME;]. Assim, [;BF = FE;], de modo que

[;AB + BF = EC + FE = FC;]
Logo,

[;AB + BC = (AB + BF) + FC = 2FC \quad \Rightarrow;]

[;\quad FC = AB + BF = \frac{AB+BC}{2};]

Consequencia: Se o arco [;\hat{MC} = 2\alpha;] e o arco [;\hat{BM} = 2\beta;], então

[;\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos  \alpha \quad \quad (1);]
e
[;\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos  \alpha \quad \quad (2);]

Na figura abaixo, [;ABC;] é a corda quebrada, [;OC = OB = OM = r;].

No [;\triangle OGM;],
[;\sin \alpha = \frac{MG}{OR} = \frac{MC/2}{r} \quad \Rightarrow  \quad MC = 2r\sin \alpha;]

e no [;\triangle OBH;],


No [;\triangle CFM;] retângulo em [;F;], [;M\hat{C}F = B\hat{O}M/2;], ou seja, [;M\hat{C}F = \beta;]. Assim,

[;FC = 2r\sin \alpha \cos \beta;]

Analogamente, no triângulo retângulo [;BFM;], temos [;M\hat{B}F = M\hat{O}C/2 =  \alpha;]. Assim,

[;\cos \alpha = \frac{BF}{BM} \quad \Rightarrow \quad BF = 2r\sin  \beta \cos \alpha;]

Pelo teorema da corda quebrada, [;AB + BF =  FC;], de modo que

[;AB = FC - BF \quad \Rightarrow \quad AB = 2r(\sin \alpha \cos  \beta - \sin \beta \cos \alpha);]

No [;\triangle BOI;] retângulo em [;I;],

[;\sin \gamma = \frac{BI}{OB} = \frac{AB/2}{r} \quad  \Rightarrow  \quad AB = 2r\sin \gamma;]

Mas o arco [;\hat{AM} = \hat{MC};], donde segue que [;2\gamma + 2\beta = 2\alpha \quad \Rightarrow \quad  \gamma = \alpha - \beta;]. Logo,

[;AB = 2r\sin(\alpha - \beta) \quad \Rightarrow \quad 2r\sin(\alpha  - \beta) = 2r(\sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha);]

donde segue a identidade [;(1);].

Para provar a identidade [;(2);], sabemos do teorema da corda quebrada que [;BF + FC = BC;] e que o arco [;\hat{BC} = 2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta);] . Assim,

[;\sin(\alpha + \beta) = \sin\frac{\hat{BC}}{2} = \frac{BC/2}{r}  \quad \Rightarrow \quad BC = 2r\sin(\alpha + \beta);]
Logo,
[;2r\sin(\alpha + \beta) = BC = BF + FC = 2r\sin \alpha \cos \beta  + 2r\sin \beta \cos \alpha;]

donde segue a demonstração.

7 comentários:

  1. Paulo! Na 4ª linha, após a primeira figura da demonstração, não é EC = AB ao invés de EC = BC?

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  2. Perfeito Pedro, realmente houve um erro de digitação. O correto é EC = AB.

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  3. Olá Paulo, tudo bom?
    Sou aluno da UNICAMP e estou com dúvida no seguinte:

    Por que sen((arcoBC)/2) = (BC/2)r

    Você usou a Lei dos Senos? Não consigo entender os passos os quais você fez até chegar na igualdade.

    Grande abraço,
    Daniel

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    1. Olá Daniel. Segue do resultado que o arco metade divide a corda em duas partes iguais. Além disso, o segmento que passa pelo ponto médio da corda é perpendicular a corda, donde segue o resultado. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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    2. Professor, peço desculpas mas continuo sem entender huashuashua

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    3. Me envie um e-mail que eu lhe envio uma figura ilustrando as explicações acima.

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  4. Parabens pelo seu blog.Gostei bastante dos conteudos aplicados e pelos metodos bem entendido. Linguagem boa e direta. um abraço aluno UNIFAP

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