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quarta-feira, 21 de abril de 2010

O Volume do Dodecaedro Regular

O dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces são pentágonos regulares. É formado por [;12;] faces, pentágonos regulares, e em cada vértice concorrem [;3 ;] faces. O prefixo dodeca significa doze em grego. Este sólido representa o universo, porque para Platão o cosmos seria constituído por átomos com a forma de dodecaedros.


A primeira ideia que surge para determinar o volume de um dodecaedro é calcular o volume de [;12;] pirâmides cujas bases são as faces pentagonais e a altura é o apótema do dodecaedro, mas devido a dificuldade em determinar o apótema, veremos um outro modo de calcular o volume. Neste método, decompomos o dodecaedro em um cubo e [;6;] sólidos conforme a figura abaixo.


Usando a lei dos cossenos e as relações métricas no pentágono regular é possível mostrar que a aresta do cubo é dada por [;c = s\phi;], onde [;\phi = (1 + \sqrt{5})/2;] é a razão áurea (figura abaixo).


Cada sólido formado nas faces do cubo pode ser decomposto em uma prisma triangular e em uma pirâmide formada pela justaposição dos sólidos opostos.

Usando o teorema de Pitágoras no primeiro sólido da figura acima, segue que

[;s^2 = l^2 + x^2 = l^2 + \biggl(\frac{c - s}{2}\biggr)^2 \quad \quad (1);]
e
[;l^2 = h^2 + \frac{c^2}{4}\quad \quad (2);]
Substituindo [;(2);]em [;(1);], temos

[;s^2 - \frac{1}{4}(c^2 - 2cs + s^2) = h^2 + \frac{c^2}{4} \quad \Rightarrow h^2 = \frac{3s^2}{4} - \frac{c(c - s)}{2} \quad \quad (3);]

Sendo [;c = s\phi;], então

[;\frac{c(c - s)}{2} = \frac{s\phi(s\phi - s)}{2} = \frac{s^2\phi(\phi - 1)}{2} = \frac{s^2\phi}{2\phi} = \frac{s^2}{4}\quad \quad (4);]

Substituindo [;(4);]em [;(3);], segue que [;h = \frac{s}{2} \quad \quad (5);].

As duas últimas imagens na figura anterior é um prisma de base triangular de área igual a [;ch/2;]e altura [;s;] e de uma pirâmide formada pela justaposição de dois sólidos opostos, cuja base é um retângulo de largura [;2x;] e comprimento [;c;]. Assim, o volume do prisma sobre as faces do cubo é

[;V_p = \frac{chs}{2} + \frac{2xch}{3} = \frac{s\phi(s/2)s}{2} + \frac{(c - s)c(s/2)}{3};]

Usando o fatos que [;c(c-s)/2 = s^2/4;] e que [;2x = c - s;], temos

[;V_p = \frac{s^3(3\phi + 1)}{12};]

Logo, o volume do dodecaedro regular é dado por

[;V = V_{cubo} + 6V_p = (s\phi)^3 + 6\cdot \frac{(3\phi + 1)s^3}{12} = \frac{(7\phi + 3)}{2}s^3;]

pois [;\phi^3= \phi^2\cdot \phi = (\phi + 1)\phi = \phi^2 + \phi = (\phi + 1) + \phi = 2\phi + 1;].

Gostará de ler também:
- Existem Apenas 5 Poliedros de Platão;
- A Razão Áurea;
- O Calendário Dodecaédrico 2010;

Extraído do site http://www.math.rutgers.edu/
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 21.4.10
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5 comentários:

  1. Perfeito Paulo! Maravilha de post!!!

    Um abraço!

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  2. Obrigado Kebler. O dodecaedro juntamente com o icosaedro tem inúmeras propriedades interessantes.

    Abraço!

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  3. Caramba muito obrigado cara eu estava precisando disso para terminar um trabalho escolar

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  4. Fico muito agradecido em saber que este post lhe foi útil. Obrigado e volte sempre!

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  5. quem agradece sou eu se tiver orkut ou msn me adiciona para eu tirar minhas duvidas que as minhas professoras num me respondem

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