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segunda-feira, 12 de abril de 2010

Provas do Teorema de Pitágoras (Parte 6)

Neste post iremos demonstrar o teorema de Pitágoras usando as relações métricas no círculo referente a potência de um ponto.

Dado o triângulo retângulo [;ABC;], construímos os círculos de diâmetros iguais aos
catetos [;AC;] e [;BC;] (figura ao lado). Seja [;D;] o pé da perpendicular baixada do ponto [;C;]. Sendo [;CD;] perpendicular a [;AB;], [;ADC;] e [;BDC;] triângulos retângulos, segue que as circunferências interceptam em [;D;].

Sendo [;AC;] tangente ao círculo [;BDC;], então

[;AC^2 = AD\cdot AB \quad \quad (1);]

Analogamente, sendo [;BC;] tangente ao círculo [;ADC;], então


[;BC^2 = BD\cdot BA \quad \quad (2);]

Fazendo [;(1)+(2);], temos:

[;BC^2 + AC^2 = BD\cdot AB + AD\cdot AB = AB(BD + AD) = AB^2;]

Referências Bibliográficas:
- García Capitán, Francisco Javier. Algunas Demonstraciones del Teorema de Pitágoras.

3 comentários:

  1. Essa foi a demostração de Pitágoras que eu achei mais bonita até agora!!!!

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  2. Não teria que ser demonstrado antes que as duas circunferências se cruzam sobre a hipotenusa?

    Ou seja, que o segmento AB e as duas circunferências passam os três sobre o mesmo ponto?

    De fato isso é verdade...

    Uma sugestão de demonstração desse passo seria começarmos definindo D como o pé da altura com relação a hipotenusa. Por causa dos ângulos retos (e a propriedade do triângulo retângulo) as duas circunferências tem que passar por ele.

    Tem alguma outra argumentação legal para justificar esse passo?

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  3. Muito bem observado Ricardo. Em geometria temos que ser precisos, irei fazer as modificações sugeridas.

    Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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