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A Razão Áurea

A razão áurea também chamada de secção áurea, foi estudada pelos gregos e surge na grande obra arquitetônica do Pathernon.


Dizemos que o ponto [;B;] divide o segmento [;AC;] numa razão áurea ou em média e extrema razão se

[;\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{CB} \quad \quad (1);]

Fazendo [;x = AC/CB;] em [;(1);], temos:

[;x = \frac{AB}{AC} = 1 + \frac{CB}{AC} = 1 + \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 1 =0 \quad \quad (2);]

A raiz positiva da equação [;(2);], denotada por [;\phi;] é chamada de número de ouro ou razão áurea e é dada por [;\phi = 1,618033988\ldots;] Note que

[;\phi^2 = \phi + 1 \quad \quad \text{e} \quad \quad \frac{1}{\phi} = \phi - 1 \quad \quad (3);]

A razão áurea representa segundo os estudiosos, a mais agradável proporção entre dois segmentos, surgindo em alguns fenômenos naturais.

Para construir o segmento áureo de um segmento dado [;AB;], devemos encontrar um ponto [;P;], sobre [;AB;], tal que

[;\frac{AB}{AP} = \frac{AP}{PB};]


Para isso, sobre a perpendicular a [;AB;], traçada por [;B;], tomemos o ponto [;O;], de modo que [;OB = AB/2;]. Com centro em [;O;], descrevemos a circunferência de raio [;OB;]. A secante [;AM;] que passa pelo centro [;O;], intercepta essa circunferência no ponto [;N;]. Com centro em [;A;] e raio [;AN;], tracemos o arco [;NP;]. O ponto [;P;], determinado sobre [;AB;], efetua a divisão áurea e o segmento [;AP;] é o segmento áureo procurado.

De fato, sendo [;AB;] tangente e [;AM;] secante à mesma circunferência de centro [;O;], temos

[;AB^2 = AN\cdot AM \quad \Rightarrow \quad \frac{AB}{AN} = \frac{AM}{AB} \quad \quad (4);]

Por outro lado, sendo [;AN = AP;] e [;MN = 2OB = AB = AP + PB;], então

[;AM = AN + MN = AP + AB \quad \quad (5);]

Substituindo [;(5);] em [;(4);], temos:

[;\frac{AP +PB}{AP} = \frac{AP + AB}{AB} \quad \Rightarrow \quad 1 + \frac{PB}{AP} = \frac{AP}{AB} + 1;]

donde segue o resultado.

Na Geometria, o retângulo cuja a razão entre o comprimento e a altura é o número de ouro, é chamado de retângulo áureo, ou seja, no retângulo [;ABCD;] abaixo, temos:

[;\frac{AB}{BC} = \phi \quad \quad (6);]

Uma propriedade interessante do retângulo áureo é a seguinte:

"Se retirarmos o quadrado de lado igual a altura do retângulo áureo, o retângulo resultante também é áureo".

De fato, considere o quadrado [;ABEF;]contido no retângulo áureo [;ABCD;]. Mostraremos que o retângulo [;BCFE;] também é áureo, ou seja, mostraremos que [;BC/FC = \phi;]. De fato, usando as fórmulas [;(3);] e [;(6);], temos:

[;\frac{BC}{FC} = \frac{BC}{AB - AE} = \frac{1}{\frac{AB}{BC} - \frac{AE}{BC}} = \frac{1}{\phi - 1} = \frac{\phi}{\phi^2- \phi} = \frac{\phi}{1} = \phi;]

Gostará de ler também:
- A razão dourada e a sequência de Fibonacci (blog LeGauss)

Um comentário:

  1. Olá! Legal o post! Acabei lembrando de um outro post meu relacionado com a razão dourada. Dê uma olhadinha: http://legauss.blogspot.com/2009/08/razao-dourada-e-sequencia-de-fibonacci.html

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