FATOS MATEMÁTICOS: Sobre o Vetor Normal à uma Reta no Plano Cartesiano

quinta-feira, 29 de abril de 2010

Sobre o Vetor Normal à uma Reta no Plano Cartesiano

Seja a equação geral da reta no $[;\mathbb{R}^2;]$ :

$[;r: \quad ax+by+c = 0;]$

Assumindo que $[;b \neq 0;]$ , o coeficiente angular de $[;r;]$ é dada por

$[;m = -\frac{a}{b};]$

Assim, $[;\vec{v_1} = (1,m) = (1,-a/b);]$ é um vetor paralelo a reta $[;r;]$ . Se $[;\vec{v} = b\vec{v_1} = (b,-a);]$ , então $[;\vec{v};]$ também é um vetor paralelo a $[;r;]$ . Se $[;\vec{N} = (a,b);]$ e sendo

$[;\vec{N}\cdot \vec{v} = (a,b)\cdot (b,-a) = ab - ba = 0;]$

segue que $[;\vec{N};]$ é um vetor normal à reta $[;r;]$ . Observe que as componentes do vetor normal, são respectivamente os coeficientes de $[;x\ ;]$ e $[;y;]$ respectivamente.

Exemplo 1: Determine a equação da reta normal ao vetor $[;(2,3);]$ e que passa pelo ponto

Resolução: Sendo $[;\vec{N} = (2,3);]$ , então $[;a = 2;]$ e $[;b = 3;]$ , de modo que a equação da reta procurada é $[;r: \quad 2x +3y + c = 0;]$ . Como $[;(1,1) \in r;]$ , então $[;2\cdot 1 + 3\cdot 1 + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = -5;]$ . Logo, $[;r: \quad 2x + 3y - 5 = 0;]$ .

Exemplo 2: Determine a equação da reta $[;r;]$ perpendicular à reta $[;s: \quad y = 2x + 1;]$ e que passa pela origem do sistema de coordenadas.

Resolução: Sendo $[;r;]$ perpendicular, então $[;\vec{N}_s;]$ é perpendicular ao vetor $[;\vec{N}_r = (2,-1);]$ , de modo que $[;\vec{N}_s \cdot (2,-1) = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{N}_s = (1,2);]$ . Assim, $[;s: \quad x + 2y + c = 0;]$ . Como a reta $[;s;]$ passa pela origem, então $[;c = 0;]$ . Logo, $[;s: x + 2y = 0;]$ .

Define-se o ângulo entre duas retas $[;r;]$ e $[;s;]$ , como sendo o menor ângulo formado entre elas. Se designarmos por $[;\theta;]$ o ângulo formado por essas retas, então $[;0 \leq \theta \leq 90^{\circ};]$ . Além disso, observe que o ângulo entre $[;r;]$ e $[;s;]$ também é o ângulo formado pelos vetores $[;\vec{N}_r;]$ e $[;\vec{N}_s;]$ ou entre $[;-\vec{N}_r;]$ e $[;\vec{N}_s;]$ ou entre $[;\vec{N}_r;]$ e $[;\vec{N}_s;]$ , conforme a figura abaixo:

Da figura,

$[;\alpha + \gamma = \beta + \gamma = 90^{\circ} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \beta = \theta;]$

e sendo $[;0 \leq \theta \leq 90^{\circ};]$ , segue que

$[;0 \leq \cos \theta \leq 1 \quad \Rightarrow \quad \mid \cos \theta \mid = \cos \theta \quad \quad (1);]$

Do produto escalar sabemos que

$[;\vec{N}_r \cdot \vec{N}_s = \mid \vec{N}_r \mid\ \mid \vec{N}_s \mid \cos \theta \quad \quad (2);]$

De $[;(1);]$ e $[;(2);]$ , segue a fórmula

$\cos \theta = \mid \cos \theta \mid = \frac{\mid \vec{N_r}\cdot \vec{N_s}\mid}{\mid \vec{N}_r \mid \ \mid \vec{N}_s \mid} = \frac{\mid \vec{N}_r \cdot \vec{N}_s \mid}{\mid \vec{N}_r \mid \cdot \mid \vec{N}_s \mid}$

que fornece o ângulo entre as retas $[;r;]$ e $[;s;]$ . É claro que se $[;r \parallel s;]$ , então

$[;\vec{N}_r \parallel \vec{N}_s \quad \Rightarrow \quad \vec{N}_r = k\vec{N}_s \quad \Rightarrow \quad \cos \theta = 1 \quad \Rightarrow \quad \theta = 0^{\circ};]$

Se $[;r \perp s;]$ , então $[;\vec{N_r}\cdot \vec{N_s} = 0 \quad \Rightarrow \cos \theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \theta = 90^{\circ};]$ .

No caso em que as retas $[;r;]$ e $[;s;]$ são paralelas a um dos eixos coordenadas, adota-se $[;\vec{N} = i = (1,0);]$ ou $[;\vec{N} = \vec{j} = (0,1);]$ .

Exemplo 3: Determine o ângulo entre as retas $[;r:\ y = \frac{x}{\sqrt{3}} + 1;]$ e $[;s\ x = -\sqrt{3}y;]$ .
Resolução: Note que $[;\vec{N}_r = (1/\sqrt{3},-1);]$ e $[;\vec{N}_s = (1, \sqrt{3});]$ , de modo que

$[;\vec{N}_r\cdot \vec{N}_s = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} = -\frac{2\sqrt{3}}{3} = -\frac{2}{\sqrt{3}};]$

Sendo

$[;\mid \vec{N}_r \mid = \sqrt{\biggl(\frac{\sqrt{3}}{3}\biggr)^2 + (-1)^2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\quad \quad;]$ e $[;\quad \quad \mid \vec{N}_s \mid = \sqrt{1 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2;]$

segue que