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Sobre o Vetor Normal à uma Reta no Plano Cartesiano


Seja a equação geral da reta no [;\mathbb{R}^2;]:

[;r: \quad ax+by+c = 0;]


Assumindo que [;b \neq 0;], o coeficiente angular de [;r;] é dada por

[;m = -\frac{a}{b};]

Assim, [;\vec{v_1} = (1,m) = (1,-a/b);] é um vetor paralelo a reta [;r;]. Se [;\vec{v} =  b\vec{v_1} = (b,-a);], então [;\vec{v};] também é um vetor paralelo a [;r;]. Se [;\vec{N} = (a,b);] e sendo

[;\vec{N}\cdot \vec{v} =  (a,b)\cdot (b,-a) = ab - ba = 0;]

segue que [;\vec{N};] é um vetor normal à reta [;r;]. Observe que as componentes do vetor normal, são respectivamente os coeficientes de [;x\ ;] e [;y;] respectivamente.

Exemplo 1: Determine a equação da reta normal ao vetor [;(2,3);] e que passa pelo ponto .
Resolução: Sendo [;\vec{N} = (2,3);], então [;a = 2;] e [;b = 3;], de modo que a equação da reta procurada é [;r: \quad 2x +3y + c =  0;]. Como [;(1,1) \in r;], então [;2\cdot 1 + 3\cdot 1 + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = -5;]. Logo, [;r: \quad 2x + 3y - 5 = 0;].

Exemplo 2: Determine a equação da reta [;r;] perpendicular à reta [;s: \quad y =  2x + 1;] e que passa pela origem do sistema de coordenadas.
Resolução: Sendo [;r;] perpendicular, então [;\vec{N}_s;] é perpendicular ao vetor [;\vec{N}_r = (2,-1);], de modo que [;\vec{N}_s \cdot (2,-1) = 0  \quad \Rightarrow \quad \vec{N}_s  = (1,2);]. Assim, [;s: \quad x + 2y + c = 0;]. Como a reta [;s;] passa pela origem, então [;c = 0;]. Logo, [;s: x + 2y =  0;].

Define-se o ângulo entre duas retas [;r;] e [;s;], como sendo o menor ângulo formado entre elas. Se designarmos por [;\theta;] o ângulo formado por essas retas, então [;0 \leq \theta \leq 90^{\circ};]. Além disso, observe que o ângulo entre [;r;] e [;s;] também é o ângulo formado pelos vetores [;\vec{N}_r;] e [;\vec{N}_s;] ou entre [;-\vec{N}_r;] e [;\vec{N}_s;] ou entre [;\vec{N}_r;] e [;\vec{N}_s;], conforme a figura abaixo:

Da figura,

[;\alpha + \gamma = \beta + \gamma = 90^{\circ} \quad  \Rightarrow \quad \alpha = \beta = \theta;]

e sendo
[;0 \leq \theta \leq 90^{\circ};], segue que

[;0 \leq \cos \theta \leq 1 \quad \Rightarrow \quad \mid \cos   \theta \mid = \cos \theta \quad \quad (1);]
Do produto escalar sabemos que

[;\vec{N}_r \cdot \vec{N}_s = \mid \vec{N}_r \mid\ \mid \vec{N}_s  \mid \cos \theta \quad \quad (2);]

De [;(1);] e [;(2);], segue a fórmula


que fornece o ângulo entre as retas [;r;] e [;s;]. É claro que se [;r \parallel  s;], então

[;\vec{N}_r \parallel \vec{N}_s  \quad \Rightarrow \quad  \vec{N}_r = k\vec{N}_s \quad \Rightarrow \quad  \cos \theta = 1 \quad  \Rightarrow \quad \theta = 0^{\circ};]

Se
[;r \perp s;], então [;\vec{N_r}\cdot \vec{N_s} = 0 \quad  \Rightarrow \cos \theta = 0  \quad \Rightarrow \quad \theta =  90^{\circ};].

No caso em que as retas [;r;] e [;s;] são paralelas a um dos eixos coordenadas, adota-se [;\vec{N} = i = (1,0);] ou [;\vec{N} = \vec{j} = (0,1);].

Exemplo 3: Determine o ângulo entre as retas [;r:\ y = \frac{x}{\sqrt{3}} + 1;] e [;s\ x = -\sqrt{3}y;].
Resolução: Note que
[;\vec{N}_r = (1/\sqrt{3},-1);] e [;\vec{N}_s = (1, \sqrt{3});], de modo que

[;\vec{N}_r\cdot \vec{N}_s = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} =  -\frac{2\sqrt{3}}{3} = -\frac{2}{\sqrt{3}};]
Sendo

[;\mid \vec{N}_r \mid =  \sqrt{\biggl(\frac{\sqrt{3}}{3}\biggr)^2 +  (-1)^2} =  \frac{2}{\sqrt{3}}\quad \quad;] e [;\quad \quad \mid \vec{N}_s \mid = \sqrt{1 + (\sqrt{3})^2} =  \sqrt{4} = 2;]

segue que

[;\cos  \theta = \frac{\mid -2/\sqrt{3}\mid}{\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 2} =  \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \theta = 60^{\circ};]

Gostará de ler também:
- Sobre o Produto Escalar;
- Retas Perpendiculares no Plano;
- A Desigualdade de Cauchy-Schwarz;

2 comentários:

  1. Achei magnífico esse post. Nos livros é definido a equação do plano como um vetor normal e três pontos. Foi ai que pensei em fazer a definição de reta baseada neste mesmo raciocínio, e o resultado esta aqui bem exposto pelo professor Paulo Sérgio. Estimas professor.

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    1. Obrigado Timoteo pelo comentário e pelos elogios. Esse tipo de abordagem de retas perpendiculares no plano cartesiano estava na minha mente a algum tempo e resolvi publicá-lo. Fico feliz em saber que você gostou.

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