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segunda-feira, 24 de maio de 2010

Raízes em Progressões

A correlação de assuntos aparentemente distintos na Matemática devem ser incentivados e expostos aos alunos sempre que possível, uma vez que eles raramente aparecem nos livros textos.

Neste post, veremos quais as relações entre os coeficientes de algumas equações polinomiais, se suas raízes estão em progressões aritméticas ou geométricas. Este assunto surgiu de forma exporádica, e portanto, não conheço a teoria geral, mas convido os leitores a aprofundar e pesquisar mais sobre este tema.

Problema 1: Seja a equação quadrática [;ax^2 + bx + c = 0;], onde [;a;] e [;b;] são reais não-nulos. Se os coeficientes [;a;], [;b;] e [;c;] formam uma [;P.G.;] nesta ordem, então ela não admite raízes reais.

Como [;a;], [;b;] e [;c;] estão em P.G., então [;c/b = b/a \quad \Rightarrow \quad b^2 = ac;]. Assim, [;\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4b^2 = -3b^2 \prec 0;], ou seja, a equação não admite raízes reais.

Problema 2: Mostre que se as raízes da equação [;x^3 + px^2 + qx + r = 0;] estão em progressão geométrica, então [;q^3 = rp^3 ;].

De fato, sejam [;x_1;], [;x_2;] e [;x_3;] as raízes da equação dada. Por hipótese, elas formam uma P.G., de modo que [;x_2 = kx_1;] e [;x_3 = kx_2;]. Isolando [;k;] nestas duas equações, temos

[;x_1x_3 = x_{2}^{2} \quad \Rightarrow \quad x_1x_2x_3 = x_{2}^{3} \qquad (1);]

Por outro lado, pelas relações de Girard,

[;\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = -p \qquad (2)\\x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = q \qquad (3)\\x_1x_2x_3 = - r \qquad (4)\\\end{cases};]

De [;(1);] e [;(4);], temos [;x_{2}^{3} = -r;]. Da expressão [;(2);], [;x_1 + x_3 = -p-x_2;] . Assim, usando a expressão [;(3);], temos

[;x_1x_3 + x_2(x_1 + x_3) = q \quad \Rightarrow \quad x_{2}^2 + x_2(-p - x_2) = q \quad \Rightarrow \quad -px_2 = q;]

Logo,
[;(-p)^3x_{2}^{3} = q \quad \Rightarrow \quad -p^3(-r) = q^3;]

Problema 3: Mostre que a equação [;ax^4 + bx^2 + c = 0;] possui raízes em progressão aritmética se e somente se [;9b^2 =100ac;].

Suponhamos que as raízes [;x_1;],[;x_2;],[;x_3;] e [;x_4;] da equação quártica acima estão em [;P.A.;] com razão [;r;]. Assim, [;x_2 = x_1 + r;], [;x_3 = x_2 + r = x_1 + 2r;] e [;x_4 = x_3 + r = x_1 + 3r;]. Pelas relações de Girard,

[;x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 + (x_1+r)+(x_1+2r)+(x_1+3r)=0;]

donde segue que

[;x_1 = -3r/2, \quad;] [;x_2 = x_1 + r = -3r/2 + r = -r/2, \quad;]

[;x_3 = x_2 + r = -r/2+r = r/2;] [;\quad;] e[;\quad;] [;x_4 = x_3 + r = r/2 + r = 3r/2;]

De forma análoga,
[;x_1x_2x_3x_4 = \frac{c}{a};]
e
[;x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = \frac{b}{a};]

Sendo, [;x_1x_2 = 3r^2/4;], [;x_1x_3 = -3r^2/4;], [;x_1x_4 = -9r^2/4;], [;x_2x_3 = -r^2/4;], [;x_2x_4 = -3r^2/4;] e [;x_3x_4 = 3r^2/4;], segue que

[;\frac{b}{a} = -10r^2/4 \quad \Rightarrow \quad r^2 = - \frac{2b}{5a} \qquad (5);]
e
[;\frac{c}{a} = (-3r/2)\cdot (-r/2)\cdot (r/2)\cdot (3r/2) = \frac{ 9r^4}{16} \qquad (6);]

Substituindo [;(5);] em [;(6);], segue que

[;\frac{c}{a} = \frac{9}{16}\biggl(-\frac{2}{5}\frac{b}{a}\biggr)^2 = \frac{9}{16}\cdot\frac{4}{25}\frac{b^2}{a^2} \quad \Rightarrow \quad 9b^2 = 100ac;]

A recíproca do exercício é um desafio que deixo para os leitores.

Exercício Proposto: Dada a equação [;x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s = 0;], prove que:
[;a);] se as raízes estão em P.G., então [;p^2s = r^2;];
[;b);] se as raízes estão em P.A., então [;p^3 - 4pq + 8r = 0;].

Gostará de ler também:
- As relações de Girard.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 24.5.10
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2 comentários:

  1. Por hipótese [;9b^2 =100ac;]

    Note que [; a \ne 0;], pois [; a=0 \Longrightarrow b=0 \Longrightarrow c = 0;] e o problema não faz sentido

    Dessa forma, podemos simplificar sem perda de generalidade a equação original para [;x^4 + bx^2 + c = 0;],
    já que dividindo por [;a;] a equação original obtemos[; x^4 + \frac{bx^2}{a} + \frac{c}{a} = 0;] e [; 9{\left ( \frac{b}{a} \right )}^2 = 100c \Longleftrightarrow 9b^2=100ac ;]

    Fazendo [;t=x^2;] obtemos [;t^2+bt+c=0;]
    Sendo [;k= \sqrt{\frac{-b}{10a}};] chegaremos sem muito esforço a [;t=k^2;] ou [; t=9k^2;]

    Assim, as raízes de [;x^4+bx^2+c=0;] são [; -3k, -k, k, 3k ;] que claramente estão em PA

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